view

Номер

Номер варианта

задачи

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3

3

3

2

3

1

3

1

4

1

2

1

1

1

3

1

3

2

2

4

1

3

1

2

1

4

1

1

2

2

3

3

4

2

1

2

3

2

1

1

3

1

4

5

2

2

1

4

3

3

1

4

4

3

6

1

3

4

1

3

2

3

1

3

4

7

3

2

5

4

5

4

1

2

5

2

8

1

2

3

4

2

1

1

1

3

2

9

3

2

1

4

1

2

3

1

2

4

10

1

2

1

4

2

4

3

4

2

3

11

4

2

3

4

1

3

4

2

1

1

12

1

1

4

1

1

2

1

3

3

1

Приложение Б

Справочные материалы для решения задач

№№

Понятия, обозначения

Содержание, формула

п/п

Множество

1

Множество A – совокупность каких-либо объектов

a , называемых элементами множества: a A

2

Дополнение A (не A)

A содержит все элементы, не принадлежащие A

3

Равенство множеств

Два множества A и B равны между собой, если они

A = B

состоят из одних и тех же элементов

4

Объединение (сумма)

Множество C состоит из всех элементов, принадле-

множеств C = A + B

жащих или множеству A, или множеству B, или

и A и Bодновременно

5

Пересечение (произ-

Множество C состоит из элементов, принадлежа-

ведение) множеств

щих одновременно и множеству A и множеству B

C = A B

6

Разность двух

C состоит из элементов множества A, которые не

множеств C = A − B

являются элементами множества B

7

Эквивалентные

Два множества называются эквивалентными, если

множества

между ними установлено взаимно-однозначное соот-

ветствие

8

Счетные множества

Бесконечные множества, эквивалентные множеству

натуральных чисел N

9

Перестановки.

Соединения, отличающиеся только порядком эле-

Число перестановок

ментов, называются перестановками. Число переста-

новок из n элементов Pn

= n!, где

n!=1 2 3 4 K n

0!=1

Продолжение прил. Б

№№

Понятия, обозначения

Содержание, формула

п/п

10

Размещения.

Соединения из n различных элементов по m , отли-

Число размещений

чающихся друг от друга составом элементов либо их

порядком, называются размещениями. Число разме-

щений из n по m

Am =

n!

(n − m)!

n

11

Сочетания.

Соединения из n различных элементов по m , отли-

Число сочетаний

чающихся друг от друга хотя бы одним элементом,

называются сочетаниями.

Число сочетаний из n по m

Cm =

n!

(n

− m)!m!

n

Cm = Cn−m ;

n

n

C0

=1;Cm+1

= Cm + Cm+1;

n

n+1

n

n

Cn0 + Cn1 + Cn2 +K + Cnn−1 + Cnn = 2n.

12

Стохастический

Это опыт (испытание), результат которого заранее не

эксперимент

определен

13

Достоверное событие

Результат, который обязательно наступает при осу-

ществлении данного комплекса условий (опыта, экс-

перимента) называется достоверным событием

14

Случайное событие

Это событие, которое может произойти, а может и не

произойти в данном испытании

15

Невозможное событие

Это событие, которое не может произойти при дан-

ном комплексе условий

16

Относительная

Отношение ν (A) =

m

числа экспериментов m , за-

частота события A

n

вершившихся событием A, к общему числу n про-

веденных экспериментов

17

Статистическое опре-

Если при неограниченном увеличении числа экспе-

деление вероятности

риментов относительная частота события ν(A)

стремится к некоторому фиксированному числу, то

событие A стохастически устойчиво и это число

p(A) называют вероятностью события A

18

Определение вероят-

P(A) =

m

, где m – число исходов стохастического

ности в классической

схеме

n

эксперимента, благоприятствующих наступлению

события A, n – общее число всех равновозможных

исходов

Продолжение прил. Б

№№

Понятия, обозначения

Содержание, формула

п/п

26

Интегральная форму-

Pn (m1 ≤ m ≤ m2 ) = Φ(x2 ) − Φ(x1) ,

ла Муавра-Лапласа

m1

− np

m2

− np

где x =

;

x =

;

1

npq

2

npq

1

x −t2

Φ(x) =

∫e 2 dt ; Φ(−x) = −Φ(x)

2π

0

(табл. П.В.3 прил. В)

27

Понятие случайной

Случайной величиной называют переменную вели-

величины

чину, которая принимает числовые значения в зави-

симости от исходов испытания случайным образом

28

Понятие дискретной

ДСВ X – случайная величина, принимающая раз-

случайной величины

личные значения, которые можно записать в виде

(ДСВ X )

конечной или бесконечной последовательности, то

есть численные значения которой образуют конечное

или счетное множество

29

Закон распределения

Соответствие между значениями x1,x2 ,... дискрет-

дискретной случайной

ной случайной величины и их вероятностями

величины

p1, p2 ,... называется законом распределения и мо-

жет быть задан таблично или аналитически (то есть с

помощью формул). Если ДСВ X принимает конеч-

ное множество значений x1,x2,...,xn соответст-

венно с вероятностями p1, p2 ,..., pn , то ее закон рас-

пределения определяется формулами

n

P(X = xk ) = pk ,

k =1,2,...,n

и ∑ pk =1

k=1

Если ДСВ X принимает бесконечную последова-

тельность значений x1,x2,x3...

соответственно с ве-

роятностями

p1, p2 , p3,...,, то ее закон распределе-

ния определяется формулами

∞

P(X = xk ) = pk ,

k =1,2,...,n

и ∑ pk =1

k=1

30

Понятие непрерывной

НСВ X – случайная величина, которая может при-

случайной величины

нимать любые значения из некоторого промежутка,

(НСВ X )

то есть множество значений непрерывной случайной

величины несчетно

31

Функция распределе-

Функцией распределения случайной величины X

ния. Свойства функ-

называется функция действительного переменно-

ции распределения

го x , определяемая равенством F(x) = P(X < x) ,

где P(X < x) – вероятность того, что случайная

№№

Понятия, обозначения

Содержание, формула

п/п

величина X принимает значение, меньше x .

Функция распределения F(x) для ДСВ X , которая

может принимать значения x1,x2 ,... xn

c соответст-

вующими вероятностями p1, p2 ,..., pn

имеет вид

F(x) = ∑P(X < xk ) , где символ xk

< x означает,

xk <x

что суммируются вероятности pk тех значений, ко-

торые меньше x .

Функция является разрывной.

Случайная величина X называется непрерывной,

если ее функция распределения F(x) является не-

прерывно дифференцируемой. Вероятность того, что

СВХ примет значение из промежутка [α;β ), равна

разности значений ее функции распределения на

концах этого полуинтервала:

P(α ≤ X < β) = F(β) − F(α)

Продолжение прил. Б

№№

Понятия, обозначения

Содержание, формула

п/п

32

Плотность распреде-

Плотностью распределения (дифференциальной

ления вероятностей

функцией распределения) вероятностей НСВ X в

непрерывной случай-

точке x называют предел отношения вероятности

ной величины.

попадания значений этой величины в интервал

Свойства функции

(x;x + x) к длине

x этого интервала, когда по-

плотности распреде-

ления

следняя стремится к нулю:

P(x < X < x +

x)

f (x) = lim

Следовательно,

x→0

x

f (x) = F′(x) , то есть плотность распределения есть

первая производная от функции распределения

НСВХ. Вероятность того, что НСВХ примет значе-

ние, принадлежащее интервалу (a;b), определяется

b

равенством P(a < X < b) = ∫ f (x)dx.

a

32

Плотность распреде-

Зная плотность распределения, можно найти функ-

ления вероятностей

x

непрерывной случай-

цию распределения F(x) = ∫

f (x)dx.

ной величины.

−∞

Свойства функции

Свойства функции плотности

плотности распреде-

1. Плотность распределения f (x) - неотрицательная

ления

функция, то есть

f (x) ≥ 0.

2. Несобственный интеграл по бесконечному проме-

жутку (−∞;+∞) от функции плотности вероятно-

+∞

стей равен единице: ∫

f (x)dx =1.

−∞

3. Если все возможные значения случайной величи-

β

ны принадлежат отрезку [α;β ], то ∫ f (x)dx =1,

α

так как вне этого промежутка

f (x) = 0.

33

Математическое

Для ДСВ X равно сумме произведений всех ее зна-

ожидание

чений на соответствующие вероятности:

n

M (X ) = ∑xi pi.

i=1

+∞

Для НСВ X : M (X ) = ∫ xf (x)dx,

−∞

где f (x) = F '(x)

– функция плотности распределе-

ния вероятности

№№

Понятия, обозначения

Содержание, формула

п/п

34

Свойства математиче-

1) M(C) = C , если C = const,

ского ожидания

2) M(CX ) = CM(X),

3) M(X + Y) = M(X ) + M(Y),

4) Если X и Y – независимые случайные величины,

то M(XY) = M(X ) M(Y).

35

Дисперсия случайной

Разность X − M (X ) называется отклонением слу-

величины

чайной величины X от ее математического ожида-

ния M(X ) = a .

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M(X − a) = 0

Дисперсией, или рассеянием случайной величины

X называется математическое ожидание квадрата ее

отклонения:

D(X ) = M ((X − a)2 ). Следовательно, для любой

случайной величины X : D(X ) ≥ 0

36

Свойства дисперсии

1) D(C) = 0 , C = const,

2) D(CX ) = C2D(X ), C = const,

3) Если случайные величины X и Y независимы, то

D(X ±Y) = D(X) + D(Y),

4) D(XY) = D(X ) D(Y),

5) D(X ) = M (X 2 ) − (M (X ))2.

37

Среднеквадратическое

Среднеквадратическим отклонением, или стандарт-

отклонение

ным отклонением, случайной величины X называ-

ется корень квадратный из ее дисперсии:

σ (X ) = D(X ) D(X ) = σ 2.

38

Биномиальное

Закон распределения дискретной случайной величи-

распределение

ны, определяемой формулой Бернулли

p

k

= P (k) = Ck pk qn−k (k = 0,1,2,...,n) называ-

n

n

ется биномиальным. Постоянные n , p называются

параметрами биномиального распределения

(q =1− p).

M (X ) = np; D(X ) = npq;σ (X ) =

npq

39

Распределение

Распределением Пуассона называется распределе-

Пуассона

ние вероятностей дискретной случайной величины,

определяемое формулой Пуассона

P (k) =

ake−a

,

n

k!

где a = np – параметр распределения.