Электротехника

Используя алгебраическую и показательную формы комплексной величины I = Ime j(wt +ϕ0 ), покажем, что гармоническая функция представляет собой проекцию этого вращающего вектора на оси мнимых и вещественных чисел комплексной плоскости.

I = Ime j(wt +ϕ0 ) = Im cos(wt +ϕ0 )+ jIm sin(wt +ϕ0 )

I = Ime jwt e jϕ0 = Ime jwt = Re Ime jwt + j Im Ime jwt

где Ime jϕ0 = Im - комплексная амплитуда гармонического воздействия Re Ime jwt = Im cos(wt +ϕ0 )- проекция вектора на действительную ось Im Ime jwt = Im sin(wt +ϕ0 ) - проекция вектора на мнимую ось Вывод: Любому гармоническому воздействию x(t) на комплексной

плоскости соответствует комплексное воздействие X , представляющее собой

При этом линейные операции над мнимыми и вещественными частями комплексных чисел заменяются операциями над самими комплексными числами.

Формы записи комплексных чисел. (при w = const )

1.Алгебраическая форма: A = a + jb = Re A + j Im A

2.Показательная форма: A = Ae jϕ0

3.Тригонометрическая форма: A = A(cosϕ0 + jsinϕ0 )

Все формы записи тождественны и связаны между собой следующими соотношениями:

a= Acosϕ0 ;

b= Asinϕ0 ;

A = a2 + b2 tgϕ = ba

4

e jϕ0 = cosϕ0 + jsinϕ0 - формула Эйлера.

На практике чаще пользуются действующими значениями Im2 = I ;

а величина I - называется символическим изображением (комплексным числом). А метод расчета цепей с использованием комплексных чисел называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.

Пределы применимости МКА (свойства комплексных чисел).

При всех математических операциях, где вещественная и мнимая части комплексного числа преобразуются независимо одна от другой, этот метод используется без каких-либо ограничений. Такие операции называются линейными и к ним относятся:

1. Сложение или вычитание: ∑Ak ≡ ∑Re Ak + j∑Im Ak

2. Умножение на постоянную (вещественную) величину p :

pA ≡ p Re A + jp Im A

Пример: A = a ± jb

p =10

10A =10a ± j10b

5

4. Интегрирование:

∫Adt ≡ ∫Re Adt + j∫Im Adt = ∫Ame jwt dt = Ajwm e jwt

т.е. интегрирование сводится к делению его комплексной амплитуды на оператор jw.

Для нелинейных операций тождества аналогичные приведенным выше не выполняются. К таким операциям относятся:

•Умножение

•Деление

Примером такой операции может служить нахождение мощности при переменном токе по формуле P =UI cosϕ

Для получения правильного результата приходится использовать искусственный прием – один из переменных множителей брать комплексно-

подтверждается непосредственной подстановкой).

Поэтому операции умножения и деления производят не в алгебраической, а в показательной форме записи (с учетом сказанного ранее).

6

AB = ABe j(ϕ A +ϕB ) BA = BA e j(ϕ A −ϕB )

• Практически важным случаем нелинейной операции является введение комплексных изображений для сопротивлений, которые позволяют записывать все законы (уравнения Кирхгофа и Ома) в символической

записи: Z = UI

Действующее значение переменного тока.

Под действующим значением переменного тока понимают такой постоянный ток, который в некотором сопротивлении за время одного периода, выделяет такое количество теплоты, что и переменный ток, т.е. где

значение.

Все приборы измеряют действующие значения i, u, e .

7

Среднее значение переменного тока за период =0.

Представить i в комплексном виде:

1) Im =10eπ 4 - показательная форма комплексной амплитуды тока

Im

π

4

+1

Рассмотрим значения показательной функции для agr ± π2 :

8

Значит, если мы умножим любое комплексное число на j , это приведет

к повороту вектора на комплексной плоскости на угол π2 . Аналогично,

×(− j)→ −π2 . Поэтому множитель j называют оператором поворота на π 2 .

Совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих sin изменяющиеся функции времени одной и той же частоты, построенных с правильной ориентацией друг относительно друга для момента времени t = 0 называется векторной диаграммой.

Уравнения для комплексных i и u и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения с комплексными числами можно рассматривать как запись геометрических преобразований векторов (их суммирование, вычитание), выполняемых на векторной диаграмме, и наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

Тема: «Электрическая цепь переменного тока и ее схема замещения». Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическими полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Для того, чтобы упростить исследование процессов в реальной эл. цепи, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения, составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из явлений, происходящих в реальной

электрической цепи.

Кпассивным элементам схемы относятся:

1.Сопротивление R – элемент, учитывающий необратимое преобразование энергии из эл. и магнитной в другие виды (тепло, свет и т.д.).

Характеризуется активным сопротивлением R [Ом]и активной проводимостью

G = R1 [См] Сименс.

9

2. Индуктивность L (идеальная индуктивная катушка) учитывает

3. Емкость C (идеальный конденсатор) – элемент эл. цепи, учитывающий энергию электрического поля Wэл = Cu2 2 . Характеризуется реактивным емкостным сопротивлением XC = wC1 [Ом] или реактивной емкостной

Ток в цепи с активным сопротивлением изменяется по тому же закону, что и приложенное напряжение, и совпадает с ним по фазе.

Для действующих значений: URm = Im / 2

UR = I Закон Ома для д. Значений

В комплексной форме: I = UR =UG

При прохождении эл. переменного тока по проводнику в нем возникает явление поверхностного эффекта, которое заключается в том, что переменный ток вытесняется к поверхности проводника. Если рассмотреть проводник, через который протекает постоянный ток , то увидим, что направленное движение e

10

токе используется хуже, чем при постоянном токе. Сопротивление проводу переменному току выше, чем постоянному, т.е. R~ =ηR− , где η -

коэффициент Фильдта, η >1.

η= d µγ f , где d - диаметр провода

µ-магнитная проницаемость провода

γ-удельная проводимость

f- частота тока.

Впредельном случае при γ = ∞ весь ток должен сконцентрироваться на поверхности провода в бесконечно тонком слое.

Мощность

p =iu = Im sin wt Um sin wt =Um Im sin2 wt sin2 α =1 − cos2α

2

p = Um2Im (1 − cos2(wt))

Вывод: 1) Мгновенная мощность всегда больше нуля т.е. резистивные элементы всегда потребляют мощность.

2) Мощность имеет постоянную составляющую pср = ImU2 m и

P =UI - активная мощность [Вт].

11

Полное комплексное сопротивление цепи с активным сопротивлением:

Z = R , комплексная проводимость Y = R1 =G

12