Федеральное агентство по образованию
Волгоградский государственный технический университет
Кафедра автоматизации производственных процессов
Моделирование случайного процесса
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине
“Моделирование систем”
РПК «Политехник»
Волгоград 2005
УДК 519:65.011.56
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине “Моделирование систем”/ Сост. А. Г. Кесоян, Л. А. Рабинович; Волгоград. гос. техн. ун-т. –Волгоград, 2005.– 12 с.
Приведено описание лабораторной работы “Моделирование случайного процесса”, в которой изучаются методы имитационного моделирования случайных величин, изменяющихся по заданным законам распределения.
Предназначены для студентов специальности 210200 всех форм обучения.
Ил. 5. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент В. Г. Карабань
Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета
-
©
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005
1. Цель работы
1.1. Изучение моделирования случайных величин, распределяющихся по заданным законам.
1.2. Привитие навыков использования методов моделирования для формирования случайной выборки с заданным распределением случайных величин.
2. Основные положения
Имитационное моделирование является одним из наиболее эффективных средств исследования сложных систем и процессов. В настоящее время существенно расширилась область использования методов имитационного моделирования и включает технические, экономические, социальные и другие объекты исследования.
Имитационное моделирование широко используется на этапах проектирования и эксплуатации сложной системы: при проектировании – для осуществления параметрического и структурного синтеза, проведения многовариантного анализа; при эксплуатации – для прогнозирования эффекта от предполагаемых модернизаций состава и структуры сложной системы.
Имитационная модель отражает последовательность протекания различных процессов, и взаимодействие отдельных элементов во времени. При построении формализованной схемы процесса должно выполняться правило: событие, происходящее в момент времени tiможет моделироваться только после того, как промоделированы все события, прошедшие в момент времениti-1. Реализация этого правила может проводиться двумя способами, а именно:
1. Повременное моделирование с детерминированным шагом («принцип t»). Алгоритм одновременно просматривает все элементы системы через малые промежутки времени (шаг моделирования) и анализирует взаимодействия между элементами.
«Принцип t» является наиболее универсальным при построении моделирующих алгоритмов. Однако этот принцип неэкономичен, поскольку на каждом шаге необходимо просматривать состояние всех блоков системы. При увеличении интервалаtпоявляется опасность пропуска отдельных событий в системе.
2. Событийный (позаявочный) способ или («принцип z») при котором прослеживается прохождение каждой заявки (детали,) в порядке поступления их в систему. Алгоритм строится из условия, что текущее время в моделируемой системе изменяется дискретно, проходя последовательно через все события. Таким образом, состояние системы изменяется с момента времени наступления определенного события: поступления очередной заявки (детали) на обслуживание, окончания ее обработки и т. д. При событийном принципе интервалы времени, в которые просматривается состояние системы, изменяются с переменным шагом. Кроме того, просматриваются состояния не всех элементов системы, а только тех, в которых произошли события.
Такие алгоритмы экономичны, позволяют существенно уменьшить затраты машинного времени по сравнению с «принципом t», однако имеют сложную логическую структуру. Этот принцип может использоваться только в простых моделях в случае последовательных заявок.
В случаях, когда неприемлемо аналитическое моделирование, прибегают к универсальному методу имитационного (статистического) моделирования называемого методом Монте-Карло. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры (так называемый вероятностный эксперимент), включающей в себя случайность и дающей случайный результат. Вероятностный эксперимент – это совокупность действий или явлений, в которых сложное сочетание естественных причин ведет к случайному результату. Множество реализаций используется как статистический материал, который может быть обработан методами математической статистики. При имитационном моделировании метод Монте-Карло используется в следующих случаях:
1) при моделировании сложных комплексных операций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов;
2) при проверке применимости более простых, аналитических методов и выяснения условий их применимости;
3) в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа «эмпирических формул» в технике.
Случайная величина – это функция, отображающая пространство элементарных событий в множество чисел. С каждым вероятностным экспериментом можно связать много разных случайных величин. Случайные величины измеряются и анализируются в терминах их статистических и вероятностных свойств, главным выразителем которых является функция распределения. Хотя возможных моделей распределения достаточно много, относительно небольшое их число особенно хорошо описывают действительность.
Основную роль в имитационном моделировании играют случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0, 1); такие случайные числа обозначаются буквой R. Существует несколько способов получения значенийR: таблицы случайных чисел, генераторы случайных чисел и метод псевдослучайных чисел.
Для воспроизведения распределения случайной величины по различным законам используются специальные модели имитации, которые основываются на преобразовании равномерно распределенных случайных чисел по соответствующим правилам.
1. Для получения случайных чисел с
нормальным законом распределения
используется сумма
,
гдеR1,R2,
…,R n
–независимые равномерно распределенные
на интервале (0, 1) случайные величины.В соответствии с центральной предельной
теоремойZявляется
асимптотически нормальной величиной
со среднимn/2 и
дисперсиейn/12.
ПронормируемZ, то есть
перейдем от нее к величине
.
Для практических расчетов можно принятьn=12, тогда
. (1)
Нормально распределенные случайные числа можно также получать, используя метод Бокса – Миллера из выражений:
, (2)
. (3)
2. Для логарифмически нормального распределения случайные числа можно получить из выражений
,(4)
где m– медиана,– среднее квадратическое отклонение.
3. Для распределения Релея случайные числа можно получить из выражений
, (5)
где – среднее квадратическое отклонение.
4. Для экспоненциального распределения случайные числа можно получить из выражений
E=–blnR, (6)
где b– параметр масштаба.