Методические указания по решению варианта 00

1. Вычислить неопределенные и определенные интегралы

а) ==

б) .

Интегирируется по частям: пусть ; тогда,. Следовательно, .

Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:

. Тогда

;

в)

.

г) ===

=+=0.

д)

2.Решите дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

Разделяем переменные: .Интегрируем: .

Получаем: или .

3.Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка .

Делаем замену: .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные: .

Интегрируя: , получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

4. Найти решение задачи Коши

Решим методом Бернулли.

Полагаем ,.

Тогда ,.

1) ,,,.

2) , т.е.,.

- общее решение.

Подставим начальные значения . Решаем уравнение и получаем что с=e,

Итак, .

5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Проверим выполнение теоремы: Þ левая часть дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Найдем ее:

. Так как. C, получим .

6.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Применяем подстановку: .

Получаем: .

Произведя обратную замену, получаем:

. Общее решение исходного дифференциального уравнения: .

7.Найти решение задачи Коши с начальными условиями

x₀ = 0; y₀ = 1;

Решаем с помощью понижения порядка:

Подставим начальные условия:

.

Получаем частное решение (решение задачи Коши):

8.Найти общее решение дифференциального уравнения

Замена переменной: .

Тогда .

1) .

Произведем замену переменной: . Отсюда, . Подставляем:

. С учетом того, что , получаем: .

Таким образом, общий интеграл имеет вид:

2) .

9.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Правая часть уравнения - корень кратности 1 характеристического уравнения. Частное решение ищем в виде:

Имеем: .

Определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение:

Следовательно, частное решение:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

10.Найти общее решение дифференциального уравнения

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sin(2x)).

Составим и решим характеристическое уравнение: .

1. Для функции f₁(x)=ax+b число 0 не является корнем характеристического уравнения тогда, . Имеем:

. Получаем: .

2. Для функции f₂(x), где. Число не является корнем характеристического уравнения, тогда

.

Подставляем:

Получаем . Следовательно, искомое частное решение имеет вид: . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Вопросы к экзамену по теоретическому курсу

Математика (II семестр)

Неопределенный и определенный интегралы функции

Одной переменной

1. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.

2. Основные методы интегрирования: при помощи разложения подынтегральной функции, замена переменной, интегрирование по частям.

3. Определенный интеграл, основные свойства, геометрический смысл.

4. Формула Ньютона – Лейбница о вычислении определенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

5. Несобственные интегралы.

6. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных, параметрических и полярных координатах с помощью определенного интеграла.

7. Вычисление длины дуги плоской кривой в прямоугольных, параметрических и полярных координатах с помощью определенного интеграла.

8. Вычисление объема тела образованного вращением вокруг оси с помощью определенного интеграла.

9. Механические приложения определенного интеграла.