Министерство образования и науки Российской Федерации
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания для выполнения семестровой работы
Волгоград 2011
УДК
Рецензент
А.Е. Годенко
Издаётся по решению редакционно-издательского отдела
Волгоградского государственного технического университета.
Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.
Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.
В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.
Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.
©Волгоградский государственный
Технический университет 2011.
§ 1 Введение в интегралы или подготовка к восприятию интегралов
Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.
При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой
dy=f′(x)dx (1)
если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде
dy=f′(u)du (2)
Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:
Таблица 1
ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ
1.
d(um)=mum-1du.
V1.
d(ctgu)=-
1X.
d(еu)=
еu
du
11.
d(lnu)=
.V11.
d(arcsinu)=
X. d(shu)=chudu
(11)*.
d(logau)=
.
(V11)*.
d(arccosu)=-
X1. d(chu)=shudu
111.
d(sinu)=cosu du V111.
d(arctgu)=
X11.
d(thu)=
1V.
d(cosu)=-sinudu
(V111)*.
d(arcctgu)=
-
X111.
d(cthu)=-
V.
d(tgu)=
1X.
d(аu
)=
аu
lnаdu
X1V.
Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.
Пример 1.
Найти такие функции, дифференциалы
которых описываются следующими
выражениями: а)
x2dx;
b)
sin(2x)dx;
c)
sin(x)cos(x)dx;
d)
;
e)
;f)
;
g)
;
h)
,
t)
.
Решение:
а)
x2dx;
замечаем, что по формуле (1) d(x3)=3x2dx,
следовательно, x2dx=
d(
x3);
b)
sin(2x)dx;
подведём число 2 под знак дифференциала
и, соответственно разделим на 2, получим
sin(2x)dx=
sin(2x)d(2x)=
=-
dcos(2x)
(смотри формулу 1V.
табл.1), здесь функция u=2x.
c)
sin(x)cos(x)dx;
решим этот пример различными способами.
В начале представим произведение
sin(x)cos(x)
по формуле двойного угла для синуса -
получим sin(x)cos(x)dx=
sin(2x)dx=-
dcos(2x).
Т.е. мы пришли к предыдущему примеру.
Подведём теперь под знак дифференциа-
ла cos(x)
получим sin(x)cos(x)dx=
sin(x)dsin(x)=
dsin2(x).
Теперь функция u=sin(x).
Можно подвести под знак дифференциала
sin(x)
получим sin(x)cos(x)dx=
-
cos(x)dcos(x)=
-
dcos2(x)
.Здесь мы, как и в предыдущем варианте
воспользовались формулой 1.
табл.1 только теперь u=cos(x).
Проанализировав результат, мы видим
интересный факт sin(x)cos(x)dx=
=-
dcos(2x)=
dsin2(x)=-
dcos2(x),
а именно дифференциалы различных функций
одинаковые, однако если воспользуемся
основным тригоно- метрическим тождеством
и формулами понижения степени для синуса
или косинуса, то увидим, что все эти
функции отличаются друг от друга на
постоянное слагаемое.
d)
.
Подведём под знак дифференциала
подкоренное выражение. d(1-x2)
=-2xdx,
следовательно, xdx=
-
d(1-x2)
получим
=
=-
d
.
Здесь мы воспользовались формулой
X1V.
табл. 1 при этом учли, что u=(1-x2).
e)
.
Заметим, что
=d(arcsinx),
получим
=dln(arcsinx).
В этом примере сработала формула
X1.
табл.1, где u=(arcsinx).
f)
=
=(arcsin-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)-1=-d
.
Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.
g)
.
Найдём дифференциал знаменателя d(cos2x
+ sinx)=
=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx,
следовательно, в числителе стоит
дифференциал знаменателя, тогда имеем
=
=
=dln(cos2x+sinx).
(u=cos2x+sinx,
формула
11.
табл.1).
h)
.
Решение приведём без пояснений.
d(5+3lnx)=
,
следовательно,
=
d(5+3lnx),
тогда
=
=
=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.
t)
=
=2
.
Попробуйте
самостоятельно ответить на вопрос
дифференциалы,
каких функций описывают данные ниже
выражения?
1)
;
2)tgxdx;
3) ctgxdx;
4)
;
5) xsin(x2)dx;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Правильность решения проверьте дифференцированием.