3.1.2. Задача распределения ресурсов

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.

Рассмотрим следующий пример.

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены на рис. 3.1.6. Там же приведено наличие располагаемого ресурса.

Рис. 3.1.6

Составим математическую модель, для чего введем следующие обозначения:

х_j — количество выпускаемой продукции j-го типа,;

b_i — количество располагаемого ресурса i-го вида,;

a_ij — норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c_j — прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Теперь приступим к составлению модели.

Как видно из рис. 3.1.6, для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6х₁ единиц сырья, где х₁ — количество выпускаемой продукции Прод1. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

6х₁+5х₂+4х₃+3х₄ 110.

В этом ограничении левая часть равна величине потребного ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса.

Аналогично можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

(3.1.8)

Задачу, имеющую 4 переменных, представить на плоскости, как мы уже знаем, невозможно, поэтому познакомимся с аналитическим методом решения таких задач.

3.1.3. Основные положения симплекс-метода

Для решения рассматриваемой задачи вернемся к теории.

Идея аналитического решения таких задач заключается, как мы уже говорили, в последовательном переборе вершин, в одной из которых и находится оптимальное решение.

Для аналитического решения задач линейного программирования разработан специальный алгоритм направленного перебора вершин. Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается.

В геометрии есть такое понятие "симплекс". Симплексом тела в k-мерном пространстве называют совокупность k+1 его вершин. Так, для плоскости при к = 2 симплексом будут три вершины треугольника, при к = 3 — четыре вершины четырехгранника и т. д. С учетом этого понятия аналитический метод решения задачи линейного программирования называют симплекс-методом. Вычисления, обеспечивающие определение значения целевой функции и переменных в одной вершине, называются итерацией.

Аналитическое решение задачи линейного программирования — дело весьма сложное, поэтому подробно описывать его не будем, а изложим лишь те его основные идеи, которые реализованы в Excel.

Решение задачи с помощью симплекс-метода будем рассматривать на примере задачи, математическая модель которой имеет вид (3.1.8).

По сравнению с системой (3.1.8) в системе (3.1.9) введены дополнительные переменные у_i и выполнен переход от системы неравенств к системе уравнений. Следует подчеркнуть, что с точки зрения содержания величина у_i равна величине неиспользованного ресурса.

(3.1.9)

Систему (3.1.9) перепишем в следующем виде:

(3.1.10)

Систему (3.1.10) можно представить в виде таблицы, приведенной на рис. 3.1.7.

Рис. 3.1.7

Таблица (рис. 3.1.7) называется симплекс-таблицей и является основной формой решения задачи линейного программирования. В этой таблице все переменные делятся на свободные и базисные. Свободные переменные находятся в ячейках С3:F3, базисные — в ячейках А5:А7. Если переменная свободная, то ее значение равно нулю. На рис. 3.1.7 все основные переменные свободные, следовательно,

х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = 0.

Значения базисных переменных приведены в ячейках В5:В7, следовательно,

у₁ = 16; у₂ = 110; у₃ = 100.

Действительно, если х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = 0, т. е. продукция не выпускается, то величина y неиспользованного ресурса будет равна всему имеющемуся ресурсу, и прибыль при этом, естественно, будет равна 0 (В4 = 0).

Как мы знаем, решения бывают допустимыми и оптимальными. Каждое решение имеет свой признак. Приведем (без доказательства, достаточно сложного) эти очень важные признаки, которые нам потребуются в дальнейшем.