8.3.2. Оптимальное распределение ресурсов во времени

Все работы, представленные на линейном графике, для своего выполнения требуют ресурсов. Задача оптимального распределения ресурсов во времени может решаться в двух постановках:

• минимизация времени выполнения работ определенной трудоемкости при заданных ресурсах;

• минимизация потребных ресурсов, обеспечивающих выполнение всех работ в заданный период времени.

Первая постановка:

(8.3.5)

где Q_i — потребная трудоемкость i-ой работы,

R_i — ресурс, выделенный для i-ой работы.

Вторая постановка:

(8.3.6)

где t_i — время выполнения i-ой работы.

В (8.3.5), (8.3.6) зависимости (а) нелинейные, следовательно, эти системы является нелинейными и их следует решать, как задачи нелинейного программирования, которые рассматривались в главе 5.

Решение рассматриваемых задач будем выполнять для задачи в первой постановке, на примере, для которого строился линейный график. Решение задачи во второй постановке производится аналогично.

Алгоритм 8.3.4. Решение задачи оптимального распределения ресурсов

1. Составить таблицу логической последовательности работ (рис. 8.3.6), которая совпадает с рис 8.3.1.

2. 

   Рис. 8.3.6

   Сформировать расчетную таблицу.

Расчетная таблица с формулами приведена на рис. 8.3.7, таблица с данными — на рис. 8.3.8.

Рис. 8.3.7

Рис. 8.3.8

3. В ячейки D14:Е18 ввести начальные ненулевые значения искомых переменных t_i и R_i, необходимые, для решения задачи нелинейного программирования, о чем говорилось в главе 5. Такие начальные значения показаны на рис 8.3.7.

1. Сервис, Поиск решения...

2. Ввести:

• Целевая функция J18; минимизировать;

• Изменяемые ячейки D14:E18;

• Начальная дата I14 = 0.

3. Ввести неотрицательные граничные условия для всех изменяемых ячеек:

D14 >= 0

D15 >= 0

...

E18 >= 0

4. Ввести условия для трудоемкости Q_i = Q_зад :

F14 = G14

F15 = G15

...

F18 = G18

5. Ввести условия для ресурсов R_i R_i^зад :

E14 <= H14

E15 <= H15

...

E18 <= H18

6. Выполнить.

На экране: результат решения задачи, который приведен на рис. 8.3.8.

По полученным данным можно построить линейный график выполнения работ при оптимальном распределении ресурсов.

Алгоритм 8.3.5. Построение оптимального линейного графика

1. Выделить С13:С18, К13:М18.

2. Выполнить алг. 8.3.2.

На экране: оптимальный линейный график (рис. 8.3.9).

Рис. 8.3.9

В рассмотренной задаче для выполнения каждой работы могли использоваться ресурсы различного типа (трудовые, сырье и т. д.). Вместе с тем, достаточно часто встречаются задачи, в которых для выполнения всех работ необходимо распределять один ресурс. Как правило, таким ресурсом являются финансы. Решение этой задачи — оптимального распределения финансирования — рассматривается в следующем разделе.

8.3.3. Оптимальное распределение финансирования во времени

Оптимальное распределение финансирования во времени производится по следующему алгоритму.

Алгоритм 8.3.6. Оптимальное распределение финансирования во времени

1. Изменить таблицу ввода данных (рис. 8.3.8), как это показано на рис. 8.3.10.

Рис. 8.3.10

По сравнению с таблицей на рис. 8.3.7 в ней изменено следующее:

• Удалены ячейки Н13:Н18, где задавался R_i^зад для каждой работы.

• В Е19 введена СУММ(Е14:Е18).

2. Ввести в ячейку Е20 задаваемое суммарное значение распределяемых финансов.

1. Сервис, Поиск решения...

2. Ввести:

• Целевую функцию: I18, минимизировать.

• Изменяя ячейки: D14:E18.

3. Ввести граничные условия на изменяемые ячейки:

D14 >= 0

D15 >= 0

...

E18 >= 0

4. Ввести требования для трудоемкостей:

F14 = G14

...

F18 = G18

5. Ввести требования по ресурсам:

E19 = E20

6. Выполнить.

На экране: на рис 8.3.10 приведен результат решения задачи.

Как мы неоднократно отмечали, важным средством анализа решаемых задач является параметрирование. Выполним его и для этой задачи, параметрируя по R_зад.

Алгоритм 8.3.7. Параметрирование по R_зад и графическое представление результатов

1. Выполнить параметрирование по величине R_зад.

2. Результаты параметрирования ввести в таблицу (рис 8.3.11), в ячейках E24:I24 которой приведены задаваемые значения R_зад, а в ячейках E25:I25 — результат решения T_ОК (где T_ОК время окончания всех работ).

3. Построить график T_ОК = f(R_зад):

• Выделить D24:I25.

• Мастер диаграмм:

шаг 2 — График.

шаг 3 — Вид 2.

шаг 4 — в строках:

1 стр. 1столб.

шаг 5 — легенды нет, ввести названия.

4. Убрать фон (алг. 8.3.9).

На экране: график Т_ок = f(R_зад) (рис. 8.3.11).

Рис. 8.3.11

С помощью этого графика легко по значению одной из величин определить значение другой.

Важной характеристикой распределения ресурсов является степень их неравномерности, которую будем оценивать среднеквадратическим отклонением (СКО) величин R_i. СКО определяется с помощью функции СТАНДОТКЛОН( ) по следующему алгоритму.

Алгоритм 8.3.8. Определение неравномерности распределения финансирования

1. Курсор в Е21 (рис. 8.3.10).

2. Мастер функций, Статистические, стандотклОН.

3. В поле число 1 ввести Е14:Е18.

4. Готово.

На экране: Е21 = 0,44.

Напомним, что при этом время окончания всех работ Т_ОК = I18 = 22.

Если целью оптимизации является равномерное финансирование всех работ, то следует минимизировать целевую функцию, в качестве которой должна быть назначена функция Excel СТАНДОТКЛОН( ). Это выполняется по следующему алгоритму.

Алгоритм 8.3.8. Минимизация неравномерности финансирования

1. Курсор в ячейку Е21.

2. Мастер функций, Статистические, стандотклОН.

3. В поле число 1 ввести Е14:Е18.

4. Готово.

5. Сервис, Поиск решения...

6. Назначить целевую функцию Е21, минимизировать.

Остальные условия вводятся такие же, как в алг. 8.3.6.

7. Выполнить.

На экране: результат решения (рис. 8.3.12).

Рис. 8.3.12

Из этого рисунка видно, что среднее квадратическое отклонение Е21 = 0, однако для достижения такой идеальной равномерности приходится платить увеличением продолжительности выполнения всех работ Т_ОК = I18 = 24. Напомним, что при СКО = 0,44 продолжительность всех работ была Т_ОК = 22. Таковы основные задачи оптимального финансирования во времени.