9.1.2. Пример задачи оптимального проектирования

Составим следующую математическую модель:

Эта запись означает: минимизировать величину полной поверхности параллелепипеда F₁ при условии, что его объем V = abh = 2000, причем все его стороны только положительные величины.

Эта модель имеет 3 составляющих:

1. целевую функцию (ЦФ);

2. ограничения (ОГР);

3. граничные условия (ГРУ).

Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных а, b, h. Так, в данной задаче все искомые переменные а, b, h должны быть положительными.

Ограничение показывает зависимость между значениями искомых переменных. В данном случае ограничением является зависимость объема бака от размеров его сторон. Очевидно, что есть бесчисленное множество положительных значений трех величин а, b, h, произведение которых равно 2000. Поэтому вводится в модель еще одна составляющая критерий или целевая функция, которая показывает, в каком смысле решение должно быть наилучшим.

В рассматриваемой задаче проектируемый бак должен быть наилучшим в смысле наименьшего количества материала, необходимого для его изготовления. Заметим, что наша задача может быть поставлена и в другом варианте, в котором в качестве целевой функции принимается длина сварного шва. В этом случае модель будет иметь вид:

После подстановки в нее значений V и L получим систему

Результаты решения задачи в этих двух вариантах приведены на рис. 9.1.5.

Целевая функция	a	b	h	S	L
S min	12,6	12,6	12,6	953	88
L min	12,6	6,3	25,2	1111	76

Рис. 9.1.5

Из этой таблицы видно, что при решении задачи по разным целевым функциям получаем совершенно разные результаты решения. В первом случае для минимизации потребного металла бак надо изготавливать в виде куба, так как в решении a = b = h = 12,6. При этом потребное количество материала S = 953 единицы. Во втором случае для минимизации длины сварного шва бак должен иметь стороны, относящиеся как 1:2:4. При этом длина сварного шва L = 76. Эти оба решения, каждый в своем смысле, и будут оптимальными.

Сравнение найденных оптимальных решений с наилучшими решениями вариантного проектирования приведено на рис. 9.1.6.

Расчет	S	L
Вариантный	1000	80
Оптимальный	953	76
F	4,9	5,8

В нижней строке этой таблицы находится значение

.

Рис. 9.1.6

Эта величина показывает относительное улучшение критерия при оптимальном проектировании по сравнению с лучшим решением вариантного проектирования. Не вызывает сомнения, что эта величина достаточно условна. Действительно, ведь значение величины F_опт является обоснованным, а F_вар — в значительной мере интуитивным.

Что же дает оптимальное проектирование?

В общем случае дать достоверный ответ на этот вопрос сложно. Многое зависит от содержания задачи, числа переменных и ограничений, опыта людей, выполняющих многовариантное проектирование. Однако даже по самым скептическим оценкам, при оптимальном проектировании находится такое решение, которое улучшает значение целевой функции не менее, чем на 5%.

В чем же идея оптимального проектирования? Каким образом применение формул приводит к экономии металла? Или, иными словами, чем оптимальное проектирование отличается от многовариантного?

Такое отличие заключается в следующем:

1. При многовариантном проектировании задают конкретные значения некоторых искомых величин и рассчитывают остальные. В этом случае значение целевой функции является следствием заданных значений величин.

2. При оптимальном проектировании задают не конкретные значения некоторых величин, а граничные условия, т. е. предельно допустимые значения всех искомых величин и находят такие значения всех искомых величин, которые, во-первых, удовлетворяют всем ограничениям и граничным условиям, а во-вторых, придают целевой функции оптимальное, т. е. максимальное или минимальное значение.