2) Представление исходных данных.

Заданные точки							Базисные функции				Метод решения
Xi	2	3	4	5	6	1		ln(x)	x	Метод Гаусса
Yi	2,41	2,85	3,91	5.2	9,8

3)Описание критерия аппроксимации и способа его минимизации.

Аппроксимирующую функцию φ(x) выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции, но остаются неопределенными (и подлежат определению) ее параметры С₁, С₂, …, С_m , т.е.

 (x) =  (x, С₁, С₂,…, С_m) . (2)

Для решения задачи подставим выражение (2) в выражение (1) и проведем необходимые операции суммирования. В результате величина J , критерий аппроксимации, представится функцией искомых параметров

J = J(С₁, С₂, …, С_m) . (3)

Последующие действия сводятся к отысканию минимума этой функции J переменных С_k . Определение значений С_k = С_k^* , k = 1, 2, …, m , соответствующих этому минимуму J, и является целью решаемой задачи.

Поскольку величина J неотрицательна (как сумма квадратов) и нижняя ее граница есть 0 (J=0), то, если существующее решение системы единственно, оно отвечает именно минимуму J.

Уравнения, встречающиеся в МНК, называются нормальными, поэтому описываемый способ решения задачи условимся называть методом нормальных уравнений.

Структура этих уравнений получается более простой в том важном частном случае, когда аппроксимирующая функция (x) выбирается линейной функцией искомых параметров С_k и выражение (2) имеет вид

(4)

где С_k – определяемые параметры; ₁(x), ₂(x),…, _m(x) – система некоторых линейно-независимых функций, называемых в курсовой работе базисными функциями.

Замечание. Функции ₁(x), ₂(x),…, _m(x) называются линейно-независимыми, если при любых x равенство

справедливо только тогда, когда все С_k =0.

В этом случае, подставляя (4) в выражение (1) и выполняя дифференцирование, получим систему уравнений относительно искомых С_k .

Покажем получение системы нормальных уравнений в общем случае для m базисных функций. Раскроем выражение аппроксимирующей функции

(x) = С₁ ₁(x) + С₂ ₂(x) +…+ С_m _m(x)

и подставим его в формулу критерия аппроксимации.

. Применим операцию дифференцирования к параметру с1 :

И, выполняя необходимые алгебраические преобразования, получим уравнение

4)Описание метода вычисления коэффициентов нормальных уравнений.

Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше операции по отношению к переменным С₂ ,…,С_m . Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:

a₁₁ С₁ + a₁₂ С₂ +…+ a_1m С_m = b­₁

a₂₁ С₁ + a₂₂ С₂ +…+ a_2m С_m = b­₂ (5)

_{……………………………………………………………..}

a_m1 С₁ + a_m2 С₂ +…+ a_{m m} С_m = b­_m ,

где коэффициенты a_{k l} и величины b_k (k, l = 1, 2,…, m) определяются выражениями

Уравнения (5) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Преимущество использования линейного представления аппроксимирующей функции  (x) состоит в том, что в этом случае однозначно решается вопрос о минимуме величины J. Действительно, если решение системы линейных уравнений (9) существует, то оно единственно, поэтому необходимые условия являются в данном случае и достаточными условиями минимума функции J(С₁, С₂ ,…, С_m).