§3. Вычисление длин дуг.
Понятие спрямляемой дуги.
В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин отрезков прямой, длины окружности, а также различных её частей. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.
В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников ( при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.
Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая Г1:
(1)
a 
t 
в.
Напомним, что функции
и
непрерывны
на отрезке. Разобьём отрезок [а;в]
на части числами
t0,t1,…,tn:a=t0<t1< … <tn=в.
Каждому числу tсоответствует
точка Мк(
,
)
кривой Г. Проводя отрезки М0М1,
…,Mn-1Mn,
получим ломаную линию ɣ, вписанную в
кривую Г. Обозначим её длину черезl(ɣ).
Определение.Жорданова кривая
(1) называется спрямляемой (имеющей
длину), если множество
длин вписанных в эту кривую ломаных γ
ограничено сверху. Точная верхняя
граница множества
называется длиной кривой Γ и обозначается
:
.
(2)
Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.
Пусть жорданова кривая Γ разбита на
кривые 
и
.
Если эти кривые спрямляемы, то кривая
Γ спрямляема, причем
.
В самом деле, пусть γ – любая ломаная,
вписанная в кривую Γ, и пусть М – точка,
разбивающая Γ на 
и
.
Добавляя эту точку к вершинам ломаной
γ, получим ломаную
,
длина которой не меньше длины ломаной
γ,
.
Но ломаная
состоит из двух частей
и
,
вписанных соответственно в кривые
и
,
причем
и
.
Поэтому
.
Это неравенство показывает, что число
является одной из верхних границ для
множества
длин ломаных, вписанных в кривую Γ. Но
для любого
найдутся ломаные
и
,
вписанные в
и
,
такие, что
и
.
Объединяя 
и
,
получаем ломаную γ, вписанную в Γ и
такую, что
.
А это и значит, что 
- точная верхняя граница множества
,
т.е.
.
2. Достаточное условие спрямляемости прямой.
Назовем жорданову кривую Γ:
,
регулярной, если функции φ и ψ имеют на
отрезке 
непрерывные производные. Справедлива
следующая теорема.
Теорема 1.Всякая регулярная жорданова кривая Γ спрямляема.
Доказательство.
Разобьем отрезок 
на части точками
и впишем в кривую Γ ломаную, соответствующую
этому разбиению. Рассмотрим одно звено
этой ломаной,
,
(рис. 49). Длина этого звена равна
.
Но по теореме Лагранжа найдутся такие
и
,
что
,
и поэтому
Рис. 49
.
Значит, длина всей ломаной выражается формулой
.
(3)
По условию производные 
и
непрерывны на отрезке
.
Поэтому для
и
на отрезке
есть наибольшие значения. Обозначим их
А и В:
,
.
Но тогда
,
,
а потому в силу (3)
.
Поскольку 
, то для всех ломаных, вписанных в кривую
Γ,
(4)
Поэтому кривая Γ спрямляема.
Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:
,
(5)
где α и β – наименьшие значения для 
и
на отрезке
.
Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой:
(6)
,
(7)
.
Неравенство (7) следует из неравенства
(5) и из того, что lкр
lлом.
Чтобы доказать неравенство (6), заметим,
что в силу неравенства (4)
является одной из верхних границ для
длин вписанных в Г ломаных, числоlкр
– точная верхняя граница для этих
длин, т.е. наименьшая из верхних границ.
Отсюда и следует неравенство (6).
Вывод формулы длины дуги регулярной кривой.
Лемма.Пусть жорданова кривая регулярна иl (t)– длина дуги этой кривой, ограниченной точками М(а) и М(b). Тогда функцияl (t) дифференцируема на отрезке [a;b], причём для всехt имеем:
(8)
.
Доказательство. Возьмём любое t
[a;b]
и дадимtприращение
такое, чтоt+
[a;b].
Положим для определённости
>
0. Соответствующее приращение функцииl (t),
т.е.l (t
+
) - l (t),равно длине дуги кривой, ограниченной
точками М(t) и М(t+
).
В силу неравенств (6) и (7) п.2 имеем:
.
Перейдём к пределу при
0.
В силу непрерывности функций
и
в точкеtполучаем, что
и
,
а потому
.
Лемма доказана.
Из этой леммы следует, что
(9)
Так как
,
,
то формулу (9) можно переписать в виде
.
Геометрический смысл этой формулы ясен
из рисунка 50, где
- участок дуги, а
- соответствующий отрезок касательной.
Мы будем называть
дифференциалом длины дуги кривой.
Теорема 2.Если жорданова кривая Г:
,
Регулярна, то его длина выражается формулой
(10) 
Доказательство. Так как
,
то
- первообразная для
,
а тогда
равна разности значений первообразной,
т.е.
l=l(a)-l(b)=
Теорема доказана.
Полученную формулу можно переписать в следующих видах:
(10')
(10'')
(10''')
Пример 1. Рассмотрим длину дуги астроиды
,
Решение. Данная кривая симметрична
относительно обеих координатных осей,
поэтому достаточно найти длину четверти
дуги, расположенной в первом квадранте
(
)
Найдём производные:
Вычислим сумму:
Учитывая сказанное выше, найдём четверть длины астроиды:
Длина всей кривой
.
Она мало отличается от
,
т.е. от длины окружности, описанной
вокруг астроиды.
4. Частные случаи формулы длины
кривой.Рассмотрим частные случаи
общей формулы (10) п.3. Если кривая Г задана
явным уравнением
то
её можно представить параметрическими
уравнениями
В
этом случае
(11)
.
Полученную формулу записывают короче в виде
(11')
Значит,
(12)
Пример 2. Вычислим длину дуги цепной
линии
взятой от точки х=0 до точки х=1 (рис.51).
Найдём производную
Вычислим подкоренное выражение
Длина l указанного отрезка цепной линии будет
Рассмотрим теперь случай, когда кривая
Г задана в полярных координатах уравнением
,
где
причём функция
на отрезке [
]
имеет непрерывную производную
.
Так как декартовы координаты связаны
с полярными координатами точек плоскости
соотношениями
,
полярное уравнение данной кривой можно
записать в виде параметрических
уравнений:
,
;
отсюда находим:
,
Поэтому
.
В силу формулы (10) п.3 имеем:
(13)
Пример 3. Вычислим длину кардиоиды
Решение. Данная функция
чётная, следовательно, кривая расположена
симметрично относительно полярной оси
(рис.52).
Поэтому сначала найдём половину длины
дуги данной кривой, для которой полярный
угол
изменяется от 0 до 2
,
после чего удвоим полученный результат:
.
Из формулы (13) получаем выражение дли дифферинциала дуги, заданной полярным уравнение
(14)
Геометрическую иллюстрацию даёт рисунок
53. На этом рисунке АС – дуга рассматриваемой
кривой, АВ – дуга окружности с центром
в точке О и радиусом
,
- длина дуги АВ. Заменяя
,
и
соответственно
,
и
;
рассматриваемый криволинейный треугольник
АВС как прямоугольный с катетами
и
и гипотенузой
.
Тогда
5. Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой.Данное в п.2 условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома).Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.
Рассмотрим функцию y=f(x), определённую на отрезке [a;b], и произвольное разбиение Р этого отрезка:
Для каждого частичного промежутка
разбиения Р образуем разность
- приращение функции на этом промежутке.
Эта разность может быть как положительной,
так и отрицательной. Заменим все эти
разности их модулями и сложим. Получим
сумму
Полученная сумма называется изменением
функции
,
соответствующим разбиению Р отрезка
Рассмотрим множество
изменений функции
,
соответствующих всевозможным разбиениям
отрезка
Если это множество ограничено сверху,
то говорят, что функция
имеет ограниченное изменение на отрезке
,
а точную верхнюю границу этого множества
называют изменением функции
на отрезке
и обозначают
.
Таким образом,
.
Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.
Теорема 3. Для того чтобы жорданова кривая Г:
a 
t 
b.
была спрямляемой, необходимо и достаточно,
чтобы непрерывные функции
и
имели
ограниченное изменение на отрезке
.
Доказательство. Покажем сначала, что
ограниченность изменения функции
и
на
отрезке
является необходимым условием
спрямляемости кривой Г. В самом деле,
если кривая Г спрямляема, то множество
длин вписанных в неё ломанных ограничено
сверху некоторым числом М. Это означает,
что для любой вписанной в Г ломанной
имеем:
Но из рисунка 54 видно, что
и
,
а потому
и
.
Эти неравенства можно переписать следующим образом:
и
.
Они показывают, что для любого разбиения
Р отрезка
имеем
и
,
т.е. функции
и
имеют ограниченное изменение на отрезке
.
Теперь докажем, что если функции
и
имеют ограниченное изменение на отрезке
,
то кривая Г спрямляема на этом отрезке.
В самом деле, в этом случае существует
такое число М, что
и
.
Иными словами,
и
.
Но из рисунка 54 видно, что
.
Поэтому для любой ломаной
,
вписанной в кривую Г, имеем:
,
и потому кривая Г спрямляема.