§2. Вычисление объёмов тел.

1.Кубируемые тела. В этом параграфе рассмотрим вопрос о вычислении объёмов тел. Начнём с простейших тел – прямоугольных параллелепипедов.

Выберем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат Oxyz. Пусть А – допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины рёбер которого равны а, в, с. Назовём числоа в с объёмом этого параллелепипеда и обозначим егоV(А),V(А) =а в с. Очевидно, что если параллелепипед А разделён плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды В и С, то выполняется равенство

V(А) =V(В) +V(С).

Далее, если параллелепипед А' получается из параллелепипеда А параллельным переносом, то V(А') =V(А). Наконец, объём куба с длиной ребра 1 равен 1.

Мы хотим распространить понятие объёма на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовём ступенчатым любое тело L, которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.

Пусть L=F_j– разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что

V(L) =V (F_j).

Это определение не зависит от того, каким способом тело Lразложено на параллелепипеды.

Возьмём теперь любое тело Т. Обозначим через Х_Т числовое множество, состоящее из объёмов ступенчатых тел, целиком содержащихся в Т, а через У_Т– множество объёмов ступенчатых тел, содержащих Т:

Х_Т = {Vвнутренних ступенчатых тел },

У_Т = {Vвнешних ступенчатых тел }.

Тогда числовое множество Х_Т лежит левее числового множества У_Т. В самом деле, еслих Х_Т иу У_Т, тох=V(L₁),у=V(L₂), гдеL₁ТL₂. Так как ступенчатое телоL₁– часть ступенчатого телаL₂, тоV(L₁)V(L₂), а это и значит, чтох у.

Поскольку Х_Т лежит левее У_Т, то найдётся хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если Х_Т и У_Т разделяются лишь одним числом, то тело Т называют кубируемым, а число, разделяющее множества Х_Т и У_Т – объёмом этого тела. Его обозначаютV(Т).

Итак, объёмом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество ступенчатых тел, содержащихся в Т, и множество объёмов ступенчатых тел, содержащих Т.

Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получим следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:

Для того, чтобы тело т было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 нашлись ступенчатые телаL₁иL₂такие, чтоL₁ТL₂ иV(L₁) –V(L₂) <.

Объём тел обладает свойством аддитивности:

Если Т1 и Т2 – кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение Т = Т₁Т₂также кубируемо, причём выполняется равенство

V(Т) =V(Т₁) +V(Т₂).

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела Т называется всякая точка, которая принадлежит телу Т вместе с некоторой своей окрестностью (т.е. открытым шаром с центром данной точке).

Далее очевидно, что если тело Т кубируемо, а тело Т₁получается из Т параллельным переносом, то тело Т₁ также кубируемо, причёмV(Т) =V(Т₁). Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело Т₁конгруэнтно кубируемому телу Т, то Т₁кубируемо иV(Т) =V(Т₁).

Понятие объёма можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°–4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек ( окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условия нормировки.

Мы будем использовать в дальнейшем достаточное условие кубируемости тела.

Если для любого > 0 найдутся такие кубируемые тела Т₁и Т₂, что Т₁ТТ₂, причёмV(T₂) –V(T₁) <, то тело Т кубируемо.