Вспомогательная окружность.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АР, BQ и CR. Доказать, что Z.BAP—Z.BQR.

Решение. Пусть Н — точка пересечения высот треугольни­ка ABC (рис. 22). Так как Z.ARH = Z.AQH = 90°, то около четы­рехугольника ARHQ можно описать окружность, приняв отрезок АН за диаметр. Построив ее, замечаем, что Z.BAP= Z.BQR как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Спрямление

Задача №1:Построить равнобедренный треугольник, если даны его угол при основании и сумма с боковой стороной.

Решение:

Задача № 2:Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме s катетов. Имеет ли задача решение, если с=10 и s=15?

Дополнительные треугольники

Задача № 1:Дан треугольник ABC, угол A которого в два раза больше угла B. Найти сторону AB, если BC=a и AC=b.

Решение:

Задача № 2:На прямой даны три точки A, B и H. Постройте треугольник ABC так , чтобы его угол A был в двое больше угла B, а точка H служила основанием высоты CH треугольника.

Алгебраический метод.

1.Алгебраическикие преобразования тождества и неравенства.

Задача № 1: Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника.

.

Задача № 2: Докажите, что основание высоты прямоугольного треугольника делят его гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам катетов.

2.Уравнения первой и второй степени.

Задача №1 Вычислить стороны параллелограмма, если две его высоты, проведенные к смежным сторонам, равны , а пиреметр равен 2p.

Задача № 2: Найти велечину острого угла равнобокой трапеции, если диагональ делит её на два равнобедренных треугольника.

Тригонометрические тождества

Задача №1:Около окружности радиуса r описан правильный двенадцатиугольник Доказать что

Задача№2: Найти площадь прямоугольного треугольника , острый угол которого равен a, а высота, проведённая из вершины прямого угла, равна h

Тригонометрические уравнения

Задача №1: В равнобедренном треугольнике ABC вписана окружность с центром О.найти радиус окружности, если OA=OB=7 и OC=3.

Решение: Из условия задачи следует, что . Радиус r вписанной окружности легко вычислить, если сначала найти угол A треугольника.

Задача № 2: Найти острые углы прямоугольного треугольника, если его высота, проведённая к гипотенузе, равна ¼ гипотинузы.

Векторный метод

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Задача№1: На стронах AB и AC треугольника ABC заданы

Задача № 2: В плоскости треугольника ABC найдите все точки М, такие, что из отрезков MA, MB и MC, перемещая их параллельно, можно составить треугольник.

Скалярное произведение векторов.

Задача №1:На стороне AB треугольника ABC взята точка М, такая что AM/MB=2. Найти длину отрезка CM, если AC=3, BC=4 и

Метод координат.

Аффиная система координат.

Задача№1: Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Прямоугольная система координат.

Задача №1:Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне BC. Точка М – середина отрезка DE. Доказать что отрезки AE и CM перпендикулярны.