Сопромат сборник решенных задач / сопромат / sopr3 / Задача 3

Задача 3. «ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ»

Рис.1. Исходная схема балки

1. Определение опорных реакций

∑М_G2 = 0;

–G₁ (L – c) + q a (L – c – a/2) + F b – М = 0;

G₁ = (q a (L – c – a/2) + F b – М)/ (L – c);

G₁ = (21 x 2.2 x (10 – 1.9 – 2.2/2) + 19 x 3.4 – 7)/ (10 – 1.9) = 47.037 кН;

∑М_G1 = 0;

-q a²/2 – F (L – c – b) + G₂ (L – c) – М = 0;

G₂ = q a²/2 + F (L – c – b) + М;

G₂ = 21 x 2.2²/2 + 19 x (10 – 1.9 – 3.4) + 7 = 18.163 кН;

Проверка правильности определения опорных реакций

∑Y = 0;

G₁ + G₂ – q a – F = 47.037 + 18.163 – 21 x 2.2 – 19 = 0;

Проверка выполняется.

Рис.2. Исходная схема балки с изображением опорных реакций

2. Определение внутренних усилий

Рис.3. Нумерация сечений балки

Сечение 1

M₁=0 kHм;

Q₁=47.037 кН;

Сечение 2

М₂=G₁ a/2 - qa²/6=47.037 x 2.2/2 – 21 x 2.2²/6=39.04 кНм;

Сечение 3

М₃= G₁ a – qa²/2=47.037 x 2.2 – 21 x 2.2²/2=52.66 кНм;

Q₃= G₁ – qa=47.037 – 21 x 2.2=0.837 кН;

Сечение 4

М₄= G₁ (a + (L – a – b – c)/2) – qa(a/2+(L – a – b – c)/2) =47.037 x (2.2 + 2.5/2) – 21 x 2.2 x (2.2/2 + 2.5/2)=53.71 кНм;

Q₄=Q₃=0.837 кН;

Сечение 5

М₅= G₁ (a + L – a – b – c) – qa(a/2+L – a – b – c) =47.037 x (2.2 + 2.5) – 21 x 2.2 x (2.2/2 + 2.5)=54.75 кНм;

Q₅=Q₄=0.837 кН;

Сечение 6

М₅= М₆=54.75 кНм;

Q₆=-G₂=-18.163 кН;

Сечение 7

М₇= G₂ b/2 – M=18.163 x 3.4 – 7=23.877 кНм;

Q₇=-G₂=-18.163 кН;

Сечение 8

М₈= М=-7кНм;

Q₈ =-18.163 кН;

Сечение 9,10,11

М_9,10,11= М=-7кНм;

Q_9,10,11=0 кН;

3. Построение эпюр внутренних усилий

Рис.4. Изображение эпюры моментов и поперечных сил

4. Подбор стальной двутавровой балки

Расчёт на прочность элементов, изгибаемых в одной из главных плоскостей, следует выполнять по формуле

M/W_n,min ≤ R_y γ_c;

R_y γ_c = σ = 150 МПа;

γ_c = 1;

W_n,min = M/ R_y = (54.75 x 10² )/ 150 = 36.5 см³ ;

В соответствии с сортаментом подбираем двутавр №27 c W_y = 41.5 см³

Значения касательных напряжений τ в сечениях изгибаемых элементах должны удовлетворять условиям

τ = QS/It ≤ R_s γ_c;

(47.04 x 10³ x 210 x 10³) / (5010 x 10⁴ x 9.8) = 20.12 МПа < 0.58 x 150 = 87 МПа

Условие выполняется.