konetstststs

Частотное рассеивание.

Дискретное преобразование Фурье вычисляется не на всей оси частот, а в точках:

Результат преобразования Фурье для гармонической функции с частотой 0 :

спектр сигнала sin 0n

Если частота сигнала кратна частоте дискретизации, то в этой точке мы наблюдаем максимум. Если не кратна, то видим падение амплитуды.

H e j максимум.

A63, 7%

С12, 7% B 21, 2% D 9,1%

(от того, что должно было быть)

БИЛЕТ 9. Операция свертки. Линейная и циклическая свертка. Вычисление свертки при

помощи БПФ. Секционированные свертки: метод перекрытия с суммированием, метод перекрытия с накоплением.

Зная импульсную функцию, можно узнать реакцию системы на произвольный сигнал.

Определение свертки:

y n x k h n k

k 0

y n x n h n

Правило вычисления свертки:

1). Зеркально отображаем функцию h t и расположить ее

таким образом, чтобы крайний отсчет h t располагался под первым отсчетом сигнала.

2). Перемножаем.

y 0 1 1 1

3). Сдвигаем и перемножаем и т.д.

y 1 2 1 1 1 1

y 2 3 2 2 3

y 3 1 3 4 0

y 4 6 1 7

y 5 2

В результате свертки получим сигнал, количество отсчетов которого равно N y Nx Nh 1.

Циклическая свертка.

Циклическая свертка– свертка периодических сигналов.

1. Берем по одному периоду и располагаем их на концентрических окружностях, один по часовой, другой против.

2. Внутренний круг вращается, значения перемножаются и суммируются.

Важно: циклическая свертка выполнима только для сигналов одной длины! Если сигналы разной длины, то к меньшему сигналу в конец добавляются нули.

N1 N2

y n x1 n x2 n

Y j y n

y n x1 n x2 n

Секционированная свертка.

Способ вычисления свертки в случае, если исходный сигнал имеет очень большую длину, или в режиме online. Когда все отсчеты сигнала заранее не известны В этих случая нельзя использовать БПФ.

Применяются 2 способа:

метод перекрытия с суммированием

метод перекрытия с накоплением.

Сигнал разбивается на секции, каждая свертка сворачивается отдельно, а затем формируется результирующий сигнал.

1. Метод перекрытия с суммированием:

Длина секции должна быть примерно такого же порядка, что и импульсная функция, с которой мы сворачиваем.

И суммируем перекрывающиеся отсчеты:

2. Метод перекрытия с накоплением:

Разбиваем сигнал на секции с перекрытием. Длина перекрывающих частей должна быть равна импульсной характеристике. Секции сворачиваются циклически с импульсной характеристикой. Отсчеты полученные без перекрытия остаются, остальные отбрасываем.

БИЛЕТ 10. Фильтры с конечными импульсными характеристиками (КИХ). Основные

достоинства и недостатки. Проектирование КИХ фильтров методом взвешивания (методом обратного преобразования Фурье) на примере сглаживающего фильтра.

Главное достоинство КИХ фильтров– устойчивость, а также возможность получения линейной ФЧХ.

Не каждый КИХ-фильтр имеет линейную ФЧХ. Если при фильтрации ФЧХ нелинейна, то могут появляться фазовые набеги. Чтобы ФЧХ была линейной, h n должна быть симметричной:

или антисимметричной:

Задания:

1. Доказать, что фильтр с симметричной и антисимметричной h n имеет линейную ФЧХ:

2. Если АЧХ датчика имеет вид:

То как исключить влияние этой АЧХ на датчик?

Главный недостаток КИХ фильтров – для того, чтобы обеспечить необходимую крутизну АЧХ, приходится иногда брать несколько десятков или сотен отсчетов h n .

Основной метод проектирования КИХ-фильтров – метод взвешивания.

Метод взвешивания.

1. Сначала задаемся идеальной импульсной характеристикой (какой мы ее хотим видеть, но никогда не получим в реальном случае).

2.Выбираем частотную характеристику (то есть, какие частоты будущий фильтр должен будет пропускать, а какие не должен).

3.Получаем уравнение.

Так как эта функция бесконечна, мы не можем ее применять. Чтобы ее ограничить, нужно использовать окно.

Прямоугольное окно («do-nothing window»):

Для ограничения h n :

h n h n WR n

где WR n оконная функция.

В частотной области это эквивалентно свертке.

Прямоугольное окно имеет спектр sinc функции.

В следствие этого появляются осцилляции в полосе пропускания– эффект Гиббса.

Чем больше отсчетов у окна, тем меньше длина переходной зоны и ширина лепестков. То есть, чем шире окно, тем лучше.

Для улучшения частотных характеристик окна можно применять специальные функции и увеличивать ширину оконной функции.

Пример (проектирование сглаживающего фильтра):

Чтобы получить импульсную функцию сглаживающего фильтра:

С чем свернуть?

БИЛЕТ 11. Оконные функции. Требования, предъявляемые к оконным функциям.

Сравнительная характеристика различных оконных функций (прямоугольное, треугольное, окна Хэмминга и Ханна, как частный случай обобщенного окна Хэмминга, окно Кайзера)

Оконная функция должна обеспечивать минимальные переходные искажения переходной функции. Кроме того, она должна ограничивать импульсную функцию.

Прямоугольное окно:

Треугольное окно:

Окно Хэмминга-Ханна:

Чтобы обеспечить минимальные искажения формы переходной функции, спектр оконной функции должен удовлетворять следующим условиям:

–ширина центрального лепестка должна быть мала

–энергия боковых лепестков должна быть как можно меньшей

Для прямоугольного окна:

У прямоугольного окна самый узкий центральный лепесток (его ширина 2N ), а величина затухания 13.5 дБ .

Для окна Хэмминга-Ханна:

Для треугольного окна:

Чтобы получить треугольник, нужно свернуть прямоугольник сам с собой. При этом спектры перемножаются.