- •Н.И. Николаева функции нескольких переменных
- •Часть 3
- •Оглавление
- •Глава 6. Функции нескольких переменных
- •Частные производные
- •Полный дифференциал функции двух переменных. Условие дифференцируемости
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная по заданному направлению. Градиент
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремумы функции двух переменных
- •Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей лагранжа
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
- •Библиографический список
- •Для заметок
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
Н.И. Николаева функции нескольких переменных
Конспект лекций
Часть 3
Омск-2009
УДК
ББК
Рецензенты:
Ю.Ф.Стругов, д-р физ.-мат. наук;
С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент
Николаева Н.И.
Функции нескольких переменных. Конспект лекций. Часть 3 / Н.И. Николаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. – 32 с.
Пособие представляет собой конспект лекций, читаемых автором на первом курсе технического университета, и предназначено для студентов всех форм обучения. В нем подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики. Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета
С |
Н.И.Николаева, 2009 |
С |
Омский государственный технический университет, 2009 |
Оглавление
Глава 6. |
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ……………….. |
4 |
|
Частные производные………………………………………………………. |
6 |
|
Полный дифференциал функции двух переменных. Условие дифференцируемости……………………………………………………………… |
10 |
|
Производная сложной функции. Полная производная…………………... |
12 |
|
Производная функции, заданной неявно………………………………….. |
15 |
|
Производная по заданному направлению. Градиент……………………... |
18 |
|
Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………... |
21 |
|
Экстремумы функции двух переменных………………………………….. |
23 |
|
Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа…………………………………………………………………….. |
26 |
|
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных на замкнутом ограниченном множестве……………………………………… |
31 |
|
Библиографический список………………………………………………... |
34 |
Глава 6. Функции нескольких переменных
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждой паре значений двух не зависящих друг от друга переменных ииз некоторой области их измененияпо некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение переменной, то говорят, что на областизадана функция двух переменных.
Область называетсяобластью определения функции двух переменных, а множество значений, принимаемых переменной , – ееобластью значений.
Самый распространенный способ задания функции двух переменных – аналитический, то есть с помощью формул.
ПРИМЕР. а). Эта функция определена на всей плоскости. Из аналитической геометрии известно, что – уравнение эллиптического параболоида, поэтому можно сказать, что эллиптический параболоид является графиком этой функции (рис. 1).
б) . Эта функция определена, если , то есть внутри единичного круга. После возведения в квадрат обеих частей равенства получим уравнение сферы , но так как, то график этой функции – верхняя полусфера (рис. 2).
|
|
в) Графиком этой функции является плоскость.
Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность.
Рассматривая функции двух переменных, мы будем иметь дело с множествами точек, которые представляют собой часть плоскости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окрестностью (или -окрестностью) точки называется множество точек плоскости, координаты которых связаны неравенством.
Другими словами, окрестностью точки на плоскости будем называть круг с центром в этой точке радиуса, не включающий окружность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называетсявнутренней точкой множества , если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в.
То есть внутренние точки области принадлежат ей вместе с некоторой достаточно малой своей окрестностью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если любая окрестность точки содержит как точки области, так и точки, не принадлежащие, тоназываетсяграничной точкой области . Множество всех граничных точек областиназывается ееграницей.
Или, по-другому, граница плоской области – это линия, которая ее ограничивает, а точки области, не лежащие на ее границе, – внутренние точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой, или незамкнутой. Если к области относятся и все точки границы, то она называется замкнутой.
Вся плоскость по определению считается и открытой, и замкнутой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Плоская область называется ограниченной, если существует круг, целиком содержащий эту область.
ПРИМЕР. – прямоугольник с центром в точке (0,1) (рис. 3) – ограниченная и замкнутая область;
|
–ограниченная и открытая (незамкнутая) область (рис. 4);
–неограниченная и открытая область (рис. 5);
–неограниченная и замкнутая область (рис. 6).
|
|