АГ Векторная алгебра 2015-16 / Практическое занятие 4+СР(скалярное произведение)

Практическое занятие № 4

(Скалярное произведение)

1. Векторы и образуют угол . Зная, что , , вычислить . Ответ: 242

2. В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE и CF. Вычислить . Ответ: 0

3. Найдите косинус угла между векторами и , если известно, что , а угол . Ответ:

4. Дан прямоугольник ABCD и точка М (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне её). Показать, что:

1. скалярное произведение векторов, идущих от точки М к двум несмежным вершинам прямоугольника, равно скалярному произведению векторов, идущих от той же точки к двум другим вершинам ∙=∙.

2. сумма квадратов векторов одной пары равна сумме квадратов другой пары (+=+).

5. Даны три вектора. , , . Вычислить выражения:

1. . Ответ: 716

2. . Ответ: -721

3. . Ответ: -353

6. Определить угол α между векторами и , заданными своими координатами в каждом из случаев:

1. , ; Ответ:

2. , . Ответ:

7. Даны вершины треугольника А(2, 3, –1), В(4, 1, –2) и С(1, 0, 2). Найти:

1. внутренний угол при вершине С; Ответ:

2. . Ответ:

8. Дана правильная четырехугольная пирамида , сторона квадрата равна , высота пирамиды равна 6. Точка K делит ребро CS в отношении 1:2, точка L делит AB в отношении 3:1. Найти

10. косинус угла между векторами и ; Ответ:

11. проекцию вектора на направление вектора . Ответ:

Задания для самостоятельной работы по теме

«Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось»

9. Зная, что , , , , вычислить .

Ответ: -13

9. Вычислить скалярное произведение двух векторов , зная их разложение по трём единичным взаимно перпендикулярным векторам , и : , . Ответ: 9

10. Дано: , , . Найти модуль вектора .

Ответ:

9. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если известно, что , , .

Ответ: 15 и

9. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны? Ответ:

10. Найти проекцию вектора на ось, имеющую направление вектора , где и – взаимно перпендикулярные орты. Вычислить углы между осью проекций и единичными векторами и .

Ответ:

9. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

10. Даны три вектора. , , . Найти:

    1. ; Ответ:

    2. ; Ответ:

    3. . Ответ:

11. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору . Ответ: 3

12. Проверить, могут ли векторы , быть рёбрами куба. Найти третье ребро куба. Ответ:

13. Найти , зная, что , , , , проекция вектора на вектор равна 1. Ответ:

14. Даны векторы , , . Найти .

Ответ: 3