6.3. Теория погрешностей

Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр.

Ошибкой или погрешностью а приближенного значения а точного числа А называют разность (иногда ею называют разность). Абсолютную величину разности между точным и приближенным значением называют абсолютной погрешностью. Положительное число , удовлетворяющее неравенству

,

называется предельной абсолютной погрешностью. И для оценки точного числа пользуются записью , гдезадает границы его неопределенности.

Относительной погрешностью называется величина . Предельная относительная погрешность:. Если для определенности положить,и, то очевидно, что. Следовательно, выражение в левой части неравенства можно принять за предельную относительную погрешность. Обычно, в этом случае используют следующее приближение:

и .

Рассмотрим пример, связанный с погрешностью округления. Определим, какое из двух равенств, представленных ниже, окажется точнее

или .

Значения в левых частях равенств найдем с большим числом десятичных знаков, откуда вычислим абсолютную погрешность. Она составляет соответственно 0,0004210… и 0,0015926… Сами погрешности (и абсолютные и относительные) принято округлять с избытком, так как при этом границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются. Округляя с избытком, получаем предельные абсолютные погрешности 0,00043 и 0,0016 соответственно. Предельные относительные погрешности так же соответственно составляют и. В результате получаем, что второе равенство оказалось точнее.

Кроме округления имеются другие источники погрешности: математическая модель, исходных данные, приближенный метод, погрешность машинных вычислений. При определении итоговой погрешности числа, погрешности, полученные от разных источников, складываются.

Пользоваться оценкой не всегда удобно. Так для физических констант и табличных данных границы неопределенности, как правило, не задаются, однако они всегда имеют определенную точность, связанную с понятиями значащей и верной цифры числа.

Значащими называют все цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,042 значащими будут две цифры 4 и 2. Это же число можно записать, как и в этой записи так же две значащие цифры. В числе 350,0 все цифры значащие, при записи его как 350 иликоличество значащих цифр уменьшается и если изначально в числе определены четыре значащих цифры, то последние две его записи не правомерны.

Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.

Для числа 36,528, определенного с погрешностью 0,07 будут верными только цифры 3 и 6. Цифра 5 будет уже не верна, так как единица ее разряда это 0,1 а половина от этого значения меньше погрешности. Аналогично будут не верны цифры 2 и 8.

В числах принято оставлять только верные цифры, пользуясь при этом пользуясь правилами округления. В предыдущем примере, если оставить только первые две цифры, округлив число до 37, то погрешность округления составит 0,472. Общая погрешность составит 0,472+0,07=0,542. Это означает, что вторая цифра числа оказалась не верной и округление нужно продолжить. Округлив число до , получаем единственную верную цифру, погрешность числа в итоге составит 3,542.

В некоторых случаях используют понятие верной цифры в широком смысле. Это означает, что абсолютная погрешность числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.

Справочные величины, как правило, имеют в своем составе все верные цифры в широком смысле. И если, например, задана некоторая физическая константа , то можно утверждать, что ее абсолютная погрешность не превышает 0,005. Данное значение можно принять за предельную абсолютную погрешность и вычислить предельную относительную погрешность: 0,005/8,31 6,0210^4 = 0,0602. Если округлить результат с избытком до одной значащей цифры, то погрешность составит 0,07.

Погрешность математических выражений.

При вычислении математических выражений, в которые входят приближенные числа, возникает необходимость в определении погрешности результата. Для этого нужно уметь вычислять погрешности арифметических операций и функций.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Если х₁, х₂, х₃, …, х_1n  данные приближенные числа, а u – их алгебраическая сумма, то согласно теореме,

.

Вследствие этого за предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых

.

Данная формула используется, как при сложении, так и при вычитании.

Относительная погрешность произведения (частного) приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Если x,y приближенные числа и (аналогично при), то, следуя предыдущей теореме, можно записать:

или .

Таким образом, за предельную относительную погрешность произведения (частного) можно принять сумму предельных относительных погрешностей множителей (делимого и делителя).

Нетрудно понять из предыдущих рассуждений, что за предельную относительную погрешность степени (гдеx – приближенное число) можно принять произведение показателя степени на предельную относительную погрешность основания .

Рассмотрим пример вычисления погрешности выражения

при ,,.

Вначале найдем X=5970441,129. Результат округлим до четырех значащих цифр: . За абсолютную предельную погрешность округления в этом случае можно принять.

Заметим, что в скобках и в подкоренном выражении производится операция вычитания. В этом случае производится расчет с помощью абсолютных погрешностей.

Имеем ,.

Переходя к относительным погрешностям можно записать итоговое выражение.

В итоге, округляя с избытком, получим

.

Предельная абсолютная погрешность

.

Если учесть погрешность округления, то окончательно можно записать:

.

Для вычисления предельной абсолютной погрешности функции многих переменных: f(x₁, x₂,…,x_n), каждая из которых является приближенным числом, справедлива формула:

В частности, для функции от одной переменной: f(x) справедлива формула:

Например:

Вычисления без точного учета погрешностей.

При массовых вычислениях обычно не учитывают погрешность каждого отдельного результата и в этих случаях пользуются следующими правилами подсчета верных цифр.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел в исходных данных для каждого числа определяют младший десятичный разряд. Среди младших разрядов чисел выбирают максимальный, а полученный результат сложения или вычитания округляют до этого разряда. Например, .

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат или куб (а также при извлечении квадратного и кубического корней) в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени (подкоренное выражение).

4. Во всех промежуточных результатах оставляют на одну значащую цифру больше. У окончательного результата лишнюю цифру округляют.

Ниже представлен пример вычислений без точного учета погрешностей.

Пусть , где , ,.

Тогда