caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

где σ, [Н/м] – коэффициент поверхностного натяжения жидкости. При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не является причиной движения жидкости, она лишь вызывает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в каналах малого диаметра (капиллярах), либо стремится придать конечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью. Например, в условиях невесомости жидкость принимает форму шара. Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпенсированы, появляется причина движения, и граничные условия на свободнойповерхности в этом случае принимают вид:

верхностного натяжения, отрицательное значение этого коэффициента отражает тот факт, что сила поверхностного натяжения уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (3.32)

и граничное условие (3.31) принимает вид:

Явление движения жидкости, инициированное силами поверхностного натяжения при неоднородном распределении температуры, называют термокапиллярным эффектом, а возникающую конвекцию – термокапиллярной конвекцией, или конвекцией Марангони.

ровку краевой задачи конвективного теплообмена, имеющую единственное решение.

3.3.Приближение Буссинеска

взадачах свободной тепловой конвекции

Свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев. Уравнение Навье – Стокса в форме (3.22) получено без учета зависимости физических свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры.

Рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса приближенный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Буссинеска:

92

Входящая в это уравнение плотность принимается в соответствии с уравнением состояния линейно зависящей от температуры:

где β, [1/К] – коэффициент теплового (объемного) расширения. После подстановки зависимости (3.35) в уравнение (3.34) получаем:

Так как ускорение свободного падения значительно больше ускорения частиц жидкости при свободной конвекции ( g >> dudτ ), то изменением плотности в левой части уравне-

ния (3.36) можно пренебречь по сравнению с изменением ее в правой части уравнения, в результате получаем:

Полученное одномерное уравнение описывает свободную тепловую конвекцию жидкости в приближении Буссинеска.

В общем трехмерном случае для вектора скорости W (u, v, w) уравнение движения в этом приближении принимает вид:

3.4.Постановка задачи тепловой конвекции

вдинамических переменных

Постановкой задачи называется система уравнений переноса, замкнутая условиями однозначности.

93

Постановку краевой задачи тепловой конвекции рассмотрим на примере плоского движения несжимаемой вязкой жидкости с постоянными свойствами в горизонтальном каннале прямоугольного сечения (рис. 3.11). Боковые стенки канала приняты изотермическими с температурами t1 и t2 (t1 > t2), верхняя и нижняя стенки – адиабатными. Вязкая среда, нагреваясь у левой стенки, поднимается вследствие уменьшения плотности вверх и опускается соответственно вниз при охлаждении у правой стенки. Образуется замкнутый контур циркуляции

Запишем систему уравнений тепловой конвекции. Уравнение несжимаемости для компонент вектора скорости u и v соответственно в проекциях на оси x и y в плоскости циркуляции

где оператор Лапласа в правой части уравнения имеет вид:

Запишем уравнения движения вязкой среды в приближении Буссинеска соответственно в проекциях на оси x и y:

94

Уравнение, описывающее распределение давления, можно получить, сложив уравнения движения (3.42) и (3.43), первое из которых предварительно продифференцировав по x, а второе – по y. После преобразований получим уравнение Пуассона для давления:

Для замыкания системы дифференциальных уравнений запишем краевые условия, включающие начальные температуру и поле скоростей, а также граничные температурные условия на изотермических и адиабатных границах и условия прилипания для скоростей:

Пять дифференциальных уравнений (3.39, 3.40, 3.42, 3.43 и 3.44) вместе с краевыми условиями (3.45) образуют краевую задачу тепловой конвекции, граничные значения для давления в которой определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.44). Переменные u–v–p– Т называют динамическими переменными, а соответствующую краевую задачу – задачей в ди-

намических переменных.

Таким образом, в динамических переменных плоская задача тепловой конвекции сводится к системе пяти дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

95

Сравнение полученного уравнения с уравнениями переноса энергии и движения (переноса импульса) позволяет сделать вывод о том, что эти уравнения совпадают по своей структуре. Следовательно, перенос завихренности подчиняется тем же законам переноса, что и энергии и импульс.

Таким образом, формулировка задачи тепловой конвекции в ω– ψ– t-переменных приводит к системе трех дифференциальных уравнений: переноса энергии (3.40), переноса завихренности (3.49) и Пуассона (3.48), в которых скорость связана с функцией тока соотношениями (3.47).

Начальные краевые условия для завихренности и функции тока имеют вид:

ω τ( = 0=) 0 , ψ (τ = 0)= 0 .

Граничные значения функции тока следуют из отсутствия расхода вязкой среды через непроницаемые стенки канала. Функция тока на стенках канала не должна изменяться, следовательно, она должна быть постоянной, или, в частности, нулевой:

ψ (0, y ) = ψ ( H x , y ) = ψ ( x, 0) = ψ (x, H y ) = 0 .

Граничные значения завихренности определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.48).

Формулировка плоской задачи тепловой конвекции несжимаемой жидкости в (ω– ψ– Т) переменных оказывается предпочтительнее формулировки ее в динамических (u–v–p– Т) переменных, так как понижает порядок системы дифференциальных уравнений с пяти до трех.

3.6. Постановка краевой задачи теплопроводности

Краевая задача теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности, имеющее единственное решение при заданном начальном распределении температуры и условиях теплообмена на границах расчетной области.

97

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности является частным случаем уравнения переноса энергии и связывает производные температуры по координате и времени:

Физический смысл уравнения: тепло от внутренних ис-

точников заданной мощности qV, а также тепло, подведенное к элементарному объему от соседних теплопроводностью a 2T , идет на увеличение внутренней энергии этого элементарного объема ∂ T ∂τ .

Коэффициент пропорциональности а называется коэффи-

циентом температуропроводности:

Он характеризует скорость изменения температуры и яв-

ляется мерой теплоинерционных свойств тела. При прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Частные случаи уравнения теплопроводности:

стационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла;

сывает стационарную теплопроводность в теле с источниками (стоками) тепла;

3) qV =0, ∂ T ∂τ = 0 2T= 0 – уравнение Лапласа, опи-

сывает стационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла.

98

Уравнение теплопроводности при неоднородных свойствах

Дифференциальное уравнение теплопроводности (3.50) было получено в предположении постоянной теплопроводности (λ = const), в действительности теплопроводность зависит от температуры, λ = λ(Т), поэтому при выводе уравнения теплопроводности нельзя выносить плотность теплового потока за знак дивергенции. В этом случае уравнение теплопроводности становится нелинейным, так как входящий в него коэффициент λ зависит от распределения температуры:

Нелинейное уравнение теплопроводности (3.52) можно привести формально к виду линейного уравнения (3.50), для этого преобразуем диффузионный член уравнения:

С введением понятий эффективных коэффициентов теплопроводности

и температуропроводности

дифференциальное уравнение теплопроводности принимает стандартный вид:

удобный при численной реализации на компьютере.

99