- •3. Расчет надежности сложных объектов
- •3.1. Целевое назначение и классификация методов расчета надежности
- •3.2. Последовательность расчета надежности объектов
- •3.2.1. Определение признаков отказа объекта и его функциональных блоков
- •3.2.2.Составление структурной и структурно-логической схем надежности объекта
- •3.2.3.Расчет показателей надежности функциональных блоков и объекта в целом
- •3.2.4. Основные сведения из теории вероятностей
- •3.3. Аналитические методы расчета надежности
- •3.3.1.Объекты с последовательным соединением элементов
- •3.3.2.Объекты с параллельным соединением элементов
- •3.3.3.Сочетание параллельного и последовательного соединений элементов в объекте
- •3.3.4. Смешанное соединение элементов в объекте
- •3.3.5. Надежность сложных структур
- •3.3.6. Выбор минимальных сечений
- •3.4.Расчетнадежности мостиковой структуры
- •3.4.1. Метод перебора возможных состояний
- •3.4.2. Метод преобразования треугольника в звезду и обратно
- •3.4.3. Приближенный метод исключения элементов
- •3.4.4.Расчет надежности избирательных схем
- •3.5. Методы обеспечения надежности объектов
- •Контрольные вопросы к главе 3
3.3.6. Выбор минимальных сечений
Для структуры, представленной на рис. 3.26, не сложно показать, какие сечения являются минимальными. Однако, если число элементов и их связей будет достаточно велико, то выбор минимальных сечений – трудоемкий процесс – число возможных сочетаний элементов возрастает по степенной зависимости.
Рассмотрим метод направленного выбора минимальных сечений, использующий элементы теории графов. Структура представляется в виде замкнутого графа, имеющего один вход А и один выходЕ(рис. 3.27, а).
Замкнутымназывается граф, не содержащий элементы, по которым не проходит ни один путь, связывающий вход графа с выходом. Ребрами такого графа служат элементы, надежность которых известна.
Таким образом, задача поиска минимальных сечений сводится к задаче построения возможных деревьев графа. Для этого к одной из вершин графа (входу или выходу) последовательно присоединяются одна за другой вершины, непосредственно связанные с предыдущим деревом.
Алгоритм определения минимальных сечений:
1. Составляется матрица непосредственных связей вершин – ребер графа.
2.Составляется массив N – деревьев графа последовательным присоединением кNi – дереву вершин, непосредственно связанных с одной из вершин, уже принадлежащихNi–1– дереву.
3. Для каждого Ni – дерева выбираются сечения.
4. Составляется массив сечений, из которого выбираются минимальные.
Пример 3.12. Определить минимальные сечения, содержащиеся в структуре, представленной на рис. 3.27,а.
Решение. 1. Составляется матрица непосредственных связей вершин и ребер графа. Например, вершинаАнепосредственно связана с ребрами 1, 2, 3; вершинаВ– с ребрами 1, 4, 6 и т.п. Матрица связей для рассматриваемого графа будет иметь вид:
Вершины Ребра, связанные с вершиной
А1 2 3
В1 4 6
С2 4 5
D3 5 7
E6 7
2. Составляется массив N – деревьев.
Первое N1 – дерево – вершинаА. Затем к ней непосредственно присоединяются три вершиныВ,C,D, являющиеся последующимиN – деревьямиAB,AC, AD. Далее, к деревуАВприсоединяется вершинаD, поскольку она связана с одной из вершинN2 – дерева, а именноА. Тогда получимN3 – деревоABD. Кроме того, кN2 – дереву присоединяется вершинаСи так далее, пока не будут рассмотрены все вершины, за исключениемЕ– выход графа (если вершинуЕприсоединить кN – дереву, то образуется связанная структура).
Таким образом, определяется массив N – деревьев графа:
A, AB, AC, AD, ABC, ABD, ACD, ABCD.
3. Для каждого Ni – дерева определяются сечения. По матрице ребра – вершины в столбик выписываются все ребра, непосредственно связанные с вершинамиN – деревьев (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Массив N – деревьев графа
N – дерево |
A |
AB |
AC |
AD |
ABC |
ABD |
ACD |
ABCD |
Ребра |
123 |
23 46 |
13 45 |
12 57 |
3 6 5 |
2 46 57 |
1 4 7 |
6 7 |
Сечения |
123 |
2346 |
1345 |
1257 |
356 |
24567 |
147 |
67 |
4. Выбираются минимальные сечения из множества полученных сечений. Для этого все сечения представляются в порядке возрастания числа элементов и уточняется, не содержатся ли в сечениях с большим числом элементов сечения с меньшим числом элементов. Так, сечение, образованное деревом ABD= 24567 содержит сечение, образованное деревомABCD= 67. Поэтому сечение 24567 исключается. Оставшиеся сечения являются минимальными. Для приведенного примера минимальные сечения: 67, 123, 147, 356, 1345, 2346. Других минимальных сечений в графе не содержится.
Иногда приходится рассматривать структуры, в которых заданы направления по ребрам графа. Такое ориентирование ребер может наблюдаться, например, когда задается направление протекания электрического тока. В этом случае выбор минимальных сечений имеет свои особенности.
При составлении матриц непосредственных связей ребра, которые входят в вершину, отмечаются знаком «–»; ребра, которые выходят из вершины – знаком «+». В таблице N– сечений (аналогичной табл. 3.3) ребра, входящие в совокупность реберN– четное число раз, независимо от присвоенного им знака, вычеркиваются. Кроме того, вычеркиваются также ребра, входящие в совокупность реберN– дерева со знаком «–».
Многие реальные объекты имеют такую структуру соединения (или взаимодействия) элементов, которая не может быть сведена ни к последовательно-параллельной, ни к параллельно-последовательной схеме.
Наиболее простой пример подобных объектов (так называемая мостиковая схема) приведен на рис. 3.3,б. В общем случае такие объекты могут представлять собой сети очень сложной конфигурации. На практике к подобным объектам можно отнести различные системы связи, информационные системы, системы управления территориально разнесенными устройствами и т.п. Для расчета надежности таких объектов может быть предложено несколько способов. Рассматриваемый здесь метод перебора состояний не является простейшим для некоторых конкретных схем, однако его всегда можно применить, и он позволяет рассмотреть влияние различных видов отказов на работу объекта.
Метод состоит в том, что рассматриваются все взаимоисключающие способы появления отказов в объекте. Применение этих методов покажем на типовых примерах расчета.