- •3. Расчет надежности сложных объектов
- •3.1. Целевое назначение и классификация методов расчета надежности
- •3.2. Последовательность расчета надежности объектов
- •3.2.1. Определение признаков отказа объекта и его функциональных блоков
- •3.2.2.Составление структурной и структурно-логической схем надежности объекта
- •3.2.3.Расчет показателей надежности функциональных блоков и объекта в целом
- •3.2.4. Основные сведения из теории вероятностей
- •3.3. Аналитические методы расчета надежности
- •3.3.1.Объекты с последовательным соединением элементов
- •3.3.2.Объекты с параллельным соединением элементов
- •3.3.3.Сочетание параллельного и последовательного соединений элементов в объекте
- •3.3.4. Смешанное соединение элементов в объекте
- •3.3.5. Надежность сложных структур
- •3.3.6. Выбор минимальных сечений
- •3.4.Расчетнадежности мостиковой структуры
- •3.4.1. Метод перебора возможных состояний
- •3.4.2. Метод преобразования треугольника в звезду и обратно
- •3.4.3. Приближенный метод исключения элементов
- •3.4.4.Расчет надежности избирательных схем
- •3.5. Методы обеспечения надежности объектов
- •Контрольные вопросы к главе 3
3.4.2. Метод преобразования треугольника в звезду и обратно
В этом случае в качестве показателей надежности используются вероятности отказов элементов. Выбор указанных характеристик объясняется тем, что метод преобразования треугольника в звезду и обратно является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценке надежности системы зависит от вероятностей, характеризующих надежность элементов. Чем меньше эти вероятности, тем меньше погрешность оценки надежности системы. Так как обычно вероятности безотказной работы элементов близки к единице, то целесообразно использовать вероятности появления отказов.
Определим зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразованиях, исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, должны быть равны между собой.
Вначале рассмотрим точки 1 и 2 (рис. 3.28, 3.29). Вероятности отказов для цепей при условии, что точка 3 присоединена к точке 2, будут равны: для звезды q1+q2q3–q1q2q3, а для треугольникаq12q31. Аналогично можно записать равенства и для других возможных вариантов соединения точек.
Таким образом, можно составить следующую систему уравнений:
q1+q2 q3 – q1 q2 q3 = q12 q31;
q2+q3 q1 –q2 q3 q1 = q23 q12; (3.62)
q3+q1 q2 – q3 q1 q2 = q31 q23.
Считая, что вероятности отказов элементов малы, и пренебрегая произведениями qi qjиq iqj qr – вероятностями более высокого порядка малости, чемqi, получим следующие приближенные выражения:
q1≈ q12 q31;q2≈ q23 q12;q3≈q31 q23. (3.63)
Перемножим соответственно левые и правые части двух первых равенств системы (3.63) и разделим на третье равенство, тогда
(3.64)
Из (3.64) после сокращения одинаковых сомножителей имеем
(3.65)
Аналогично получаем
(3.66)
Если предположить, что точка 3 в схеме «звезда» является свободной, то соответствующие вероятности появления отказов в схемах «звезда» и «треугольник» будут соответственно равны для «звезды»: q1 +q2 – q1 q2;q2 +q3 – q2 q3;q3 +q1 – q3 q1; для «треугольника»:q12 (q23+q31–q23 q31);q23 (q31+q12–q31 q12);q31 (q12+q23–q12 q23). Пренебрегая в этих выражениях величинами более высокого порядка малости, чемqi(произведенияqi qj), получим следующие приближенные зависимости:
q1+q2≈q12 q23+q12 q31;
q2+q3≈q23 q31+q23 q12; (3.67)
q3+q1≈q31 q12+q31 q23.
Прибавляя к левой и правой частям первого уравнения в системе (3.67) соответственно левую и правую части третьего уравнения и вычитая соответственно левую и правую части второго уравнения, получим выражение q1≈ q12 q31, которое было получено ранее (см. первое уравнение в системе (3.63)). Таким образом, приближенные формулы (3.63), (3.65), (3.67) могут быть использованы в процессе преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда» и обратно.
3.4.3. Приближенный метод исключения элементов
Сущность приближенного метода расчета надежности мостиковых схем методом исключения элементов заключается в том, что в структурной схеме выбираются один или несколько элементов и затем производится расчет показателей надежности для двух крайних случаев:
предполагается, что выбранные элементы абсолютно надежны (вероятность безотказной работы элементов равна единице);
предполагается, что выбранные элементы абсолютно ненадежны (вероятность безотказной работы элементов равна нулю).
В первом случае две точки системы, к которым подключается элемент, соединяются постоянной связью, во втором – между этими точками отсутствует какая – либо связь. Для двух полученных структур определяются вероятности безотказной работы, соответственно равные Pmax иPmin.
Затем определяется средневзвешенное значение вероятностей безотказной работы исключаемых элементов
(3.68)
где pi– вероятность безотказной работыi-го исключаемого элемента;n– число исключаемых элементов.
Окончательно вероятность безотказной работы системы определяется по формуле
Pс = Pmin + (Pmax – Pmin)pср. (3.69)
Очевидно, если pср= 1 (абсолютно надежные исключаемые элементы), тоPс=Pmax. Еслиpср= 0 (абсолютно ненадежные элементы), тоPс=Pmin.
Особенности метода исключения элементов:
с увеличением числа исключаемых элементов точность расчетов понижается;
с увеличением числа элементов в системе при фиксированном числе исключаемых элементов точность расчетов повышается;
в качестве исключаемых элементов целесообразно выбирать элементы, имеющие высокую надежность
Вероятности безотказной работы всех элементов одинаковы: pi=p= 0,9.
Решение.I. Преобразуем схему «треугольник», образованную элементами 1, 3, 5, в схему «звезда» с элементами 6, 7, 8 (рис. 3.31). Согласно формулам (3.63) рассчитываем вероятности отказов элементов «звезды»
q6=q7=q8≈q2≈ (1 –p)2= (1 – 0,9)2= 0,01;p6=p7=p8= 0,99.
Используя формулы для последовательно-параллельно соединенных элементов, определяем вероятность безотказной работы системы
Рс=р6 [1– (1–р2 р7)(1–р4 р8)] = 0,99[1– (1–0,9·0,99)(1–0,9·0,99] = 0,9782.
Рmax= [1– (1–р)2]2= [1– (1–0,9)2]2= 0,9801.
Во второй структуре в месте нахождения элемента 5 будет разрыв цепи (рис. 3.33). В соответствии с этим
Рmin= 1 – (1 –р2)2= 1 – (1 – 0,92)2= 0,9639.
Рс= 0,9639 + (0,9801 – 0,9639)·0,9 = 0,9785.
Сравнение значений вероятностей безотказной работы, полученных рассмотренными приближенными методами, показывает, что они очень близки.