Контрольная по физике №1

направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Тело будет вращаться по часовой стрелке. Угловое ускорение тела совпадает по направлению с вектором момента силы и направлено от нас.

Выберем систему отсчета: ось ОУ направим вертикально вниз, и начало отсчета по этой оси удобно выбрать в той точке, в

которой находился груз в начальный момент времени t = 0. Ось

ОZ направим перпендикулярно плоскости рисунка от нас за рисунок.

Для решения задачи необходимо применить второй закон Ньютона и основное уравнение динамики вращательного движения, а также уравнения

кинематики.

Решение:

Запишем векторную форму уравнений движения вала и груза:

натяжения нити и радиусвектором равен α = 90 , поэтому Тангенциальное ускорение точек оси равно линейному ускорению

движения груза, а связь между угловым и линейным ускорением имеет вид a xr , или a r sin , т. к. α = 90 , то a r.

Учитывая все эти соотношения, получаем систему двух уравнений

T r J ar ; mg T ma.

21

Решая систему уравнений, получаем

J mg ma r2 . a

Для того чтобы вычислить момент инерции тела по полученной формуле,

необходимо знать величину линейного ускорения. Воспользуемся уравнениями кинематики.

Координата точки, движущейся прямолинейно и равномерно, зависит от времени следующим образом:

a 2t 2h .

Получаем окончательную расчетную формулу

Ответ: момент инерции тела равен J 3, 72 10 2 кг м2 .

Пример 1.5. Два тела массами m1 = 1 кг и т2 = 3 кг движутся навстречу друг другу вдоль горизонтального направления и перед столкновением имеют скорости V1=2 м/с и V2 = 1 м/с. Считая удар центральным и неупругим,

найдите:

1.Какая часть механической энергии перешла в другие виды энергии при

ударе?

2.Какое время будут двигаться тела после удара до остановки, если коэффициент трения тел о поверхность равен μ = 0,2?

22

1)Q ? W1

2)t = ?

Достаточно выбрать одну ось координат ОХ. Будем считать, что после удара тела будут двигаться в положительном направлении оси ОХ. При ударе тела взаимодействуют только между собой, поэтому система тел является замкнутой. В случае неупругого удара внутри системы действуют силы деформации, которые являются неконсервативными силами. Таким образом,

система тел является замкнутой, но неконсервативной. Для такой системы тел применим только закон сохранения импульса. Механическая энергия системы не сохраняется, часть ее расходуется на деформацию и нагревание тел при ударе, поэтому

Aнкс Wмех .

Решение:

Все движения происходят вдоль горизонтальной оси, следовательно,

потенциальная энергия тел не изменяется. Можно выбрать нулевой потенциальный уровень в том месте, где движутся тела, и величина потенциальной энергии тел будет равна нулю относительно такой системы отсчета. До взаимодействия энергия системы складывается из кинетической

23

После удара их кинетическая энергия стала равна:

W2 (m1 m2 ) u2 .

2

Для определения скорости тел после удара можно применить закон сохранения импульса, так как система тел является замкнутой:

Pнач Pкон .

В проекции на ось ОХ получим

m1V1 m2V2 m1 m2 ux ,

где иx – проекция скорости движения тел после столкновения. Отсюда выразим проекцию скорости иx

Поскольку получили u < 0, это значит, что направление выбрано неверно и тела движутся в другую сторону со скоростью u = 0,25 м/с.

Тела имеют отрицательную проекцию скорости на ось ОХ после удара,

т. е. будут двигаться в ту же сторону, что и второе тело до удара. Найдем, какая часть механической энергии перешла в тепло и энергию деформации при ударе.

Убыль механической энергии равна количеству теплоты, которое выделилось при ударе:

Подставим значение скорости и и приведем к общему знаменателю:

24

Доля потерянной механической энергии от начального значения энергии тел составляет

Ответ: мы получили, что 96 % механической энергии при неупругом ударе в этом случае переходит в другие виды энергии.

2. Найдем ответ на второй вопрос задачи. Время движения тел после удара до остановки можно определить,

используя второй закон Ньютона в импульсной форме.

Система тел после удара является незамкнутой, так как на тела во время движения действует сила трения – внешняя сила. Она изменяет импульс системы:

Fтр t P .

Сила трения скольжения Fтр μ N, где N (m1 m2 )g, ее проекция на ось ОХ

отрицательная. Изменение импульса тел при движении до остановки в проекции на ось ОХ равно

px 0 (m1 m2 )u (m1 m2 )u.

Из закона Ньютона, записанного в проекции на ось ОХ, можно получить выражение для вычисления времени движения тел до остановки:

25

Пример 1.6. Однородный тонкий стержень массой m1 = 0,20 кг и длиной l = 1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку А, которая отстоит на треть длины от верхнего конца. В точку C на стержень попадает пластилиновый шарик массой m2 = 10 г, летящий горизон-

тально, и прилипает к стержню. Скорость шарика V = 10 м/с.

1.Определите угловую скорость стержня сразу после неупругого взаимодействия с шариком.

2.Найдите, на какой максимальный угол отклонится стержень с шариком после удара.

1)ω = ?

2)α = ?

Анализ:

Вданной задаче система тел состоит из стержня и пластилинового шарика. До удара со скоростью V движется шарик, который можно считать материальной точкой. Затем происходит неупругое взаимодействие шарика и стержня. Стержень закреплен на неподвижной оси вращения и может только вращаться вокруг этой оси. После удара стержень с прилипшим шариком начинает вращаться с некоторой угловой скоростью и движется до остановки,

отклонившись при этом на угол α от первоначального положения.

При решении задачи сначала надо рассмотреть неупругое столкновение шарика со стержнем. Система тел – замкнутая, но неконсервативная, поскольку тела при ударе взаимодействуют только между собой, но силы деформации –

26

неконсервативные силы. Для решения задачи при наличии вращательного движения можно применить закон сохранения момента импульса.

После удара система «стержень с шариком» начинает двигаться. Система тел при этом является замкнутой и консервативной, т. к. силы сопротивления при движении с достаточно малой скоростью пренебрежимо малы, поэтому в

этом случае можно применить закон сохранения механической энергии.

Решение:

1. Запишем уравнение для закона сохранения момента импульса. До удара шарик двигался со скоростью V, и модуль его момента импульса

относительно оси, проходящей через точку А, равен .

Момент импульса стержня до удара равен нулю, так как он покоился. После удара стержень с прилипшим шариком начинает двигаться с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через точку А. Получаем уравнение

2

m2Vl m2 2 l J ,3

где J – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку А. Применим теорему Штейнера

и подставим полученное выражение в закон сохранения момента импульса: m2V 23 l m2 94 l2 19 m1l 2 .

Из полученного уравнения находим угловую скорость системы сразу после

2.Система тел «стержень и шарик» будет двигаться до тех пор, пока вся

еекинетическая энергия не перейдет в потенциальную. Сразу после удара кинетическая энергия есть и у шарика, и у стержня:

В момент остановки у системы имеется только потенциальная энергия.

Нулевой потенциальный уровень удобно связать с положением центра тяжести стержня в его вертикальном положении. Изменение потенциальной энергии тел при отклонении стержня на угол α равно

Подставив полученные выражения в закон сохранения механической энергии,

получаем уравнение, из которого можем определить максимальный угол отклонения системы:

2. Молекулярная физика и термодинамика

Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделеева – Клапейрона

pV Mm RT ,

где p – давление газа; V– его объем; Т – термодинамическая температура; m –

масса газа; М – молярная масса газа; R = 8,31441 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная; отношение = m/М определяет число молей вещества.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений, т. е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов в отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давления идеальных газов имеет вид

где п – концентрация молекул, т. е. число молекул в единице объема; W0 –

кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, движущейся

28

со средней скоростью; m0 – масса одной молекулы, Vкв – среднеквадратичная скорость молекул газа. Эти величины определяются следующими

формулами:

Число молекул в единице объема

n VN .

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

W0= 32 kT.

Средняя квадратичная скорость молекул

где m0 = М/NA – масса одной молекулы; k = R/NA = 1,38∙10–23 Дж/К – постоянная

Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями следует из их определения:

C Mc .

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

i

СV = 2 R ;

молярная теплоемкость при постоянном давлении

29

Cp CV R i 2 R .

2

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

δQ = dU+δA,

где δQ – количество теплоты, полученное газом; dU – изменение внутренней энергии газа; δA = pdV – элементарная работа, совершаемая газом. Полная работа газа равна

V2

А= pdV.

V1

Работа, совершаемая при различных изопроцессах, получается применением этого интеграла к каждой конкретной задаче. Работу при адиабатическом процессе проще всего и удобнее находить, применяя для этого процесса первое начало термодинамики, т. е. ∆A = – ∆U.

Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона) pV const , т. е. p1V1 p2V2 ,

где показатель адиабаты γ = сp /сV. Уравнение Пуассона через другие параметры системы может быть записано еще в таком виде:

или

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя;

Q2 – количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла Карно

T1 T2 ,

T1

30