6.1. Определение напряжений и деформаций при сдвиге

Если на брус действуют перпендикулярно его оси две равные по модулю силы F, направленные в противоположные стороны и имеющие небольшое расстояние между линиями их действия, то при достаточной величине этих сил происходит срез (рис. 6.1). Две части бруса отделяются одна от другой по линии n – n. Характерным для среза является близость расположения сил F, как это бывает у ножниц при разрезании, например, листа металла.

Деформация, которая предшествует срезу, называется сдвигом. Эта деформация заключается в изменении прямых углов элементарного прямоугольника abcd, который после сдвига трансформируется в параллелепипед abc'd' (рис. 6.2).

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Рассмотрим элемент бруса abcd до и после сдвига (рис. 6.3). Величина сс^/, на которую сдвинулось сечение cd относительно сечения ab, расположенного от него очень близко, называется абсолютным сдвигом. Абсолютный сдвиг зависит от расстояния h между смежными сечениями ab

и cd.

Рис. 6.3

Угол , на который изменяются прямые углы прямоугольника, называется относительным сдвигом. Относительный сдвиг определим из соотношения

. (6.1)

Функцию приравняем к аргументу ввиду того, что в упругом состоянии, которое рассматриваем, уголочень мал. Таким образом, за меру сдвига принимают относительный сдвиг, т.е. отношение абсолютного сдвига между двумя близко расположенными смежными сечениями к расстоянию между этими сечениями. Единица измерения относительного сдвига – радиан.

Рассечём брус по линии n – n между перерезывающими силами F

(см. рис. 6.1) и, применив метод сечений, действие отброшенной части на оставшуюся заменим внутренними силами (рис. 6.4). Эти силы действуют в плоскости сечения, следовательно, сдвиг вызывает касательные напряжения. Если предположить, что внутренние силы распределяются равномерно по площади сечения, то касательные напряжения определяются формулой

(6.2)

где А – площадь поперечного сечения бруса.

Рис. 6.4

Экспериментально установлено, что величина сдвига в пределах упругих деформаций пропорциональна сдвигающей силе F, расстоянию между плоскостями сдвига h и обратно пропорциональна площади поперечного сечения А, т.е.

(6.3)

где GA – жёсткость сечения балки при сдвиге.

Учитывая (6.1) и (6.2), из уравнения (6.3) найдём

(6.4)

Формула (6.4) выражает закон Гука при сдвиге: угловые деформации пропорциональны касательным напряжениям.

Величина G зависит от свойств материала и называется модулем упругости сдвига. Между модулями упругости и сдвига существует зависимость

(6.5)

где – коэффициент поперечной деформации. В практических расчётах принимают для одного и того же материалаG = 0,4E. Модуль сдвига для стали.

6.2. Определение внутренних силовых факторов при кручении

Кручением называется такой вид деформации, при которой в поперечных сечениях стержня действуют только крутящие моменты, а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающий момент) отсутствуют. Эти крутящие моменты возникают под действием внешних моментовТ, которые передаются на вал в местах посадки зубчатых колёс, шкивов и т.д. (рис. 6.5). Поперечная нагрузка также вызывает крутящие моменты, добавляя при этом поперечные и изгибающие силы (рис. 6.6).

Рис. 6.5 Рис. 6.6

Вращающиеся и работающие на кручение стержни, имеющие, как правило, круглое сечение, называются валами.

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения крутящих моментов, действующих на его отдельных участках.

Условимся внешние моменты изображать в виде линии с двумя кружками, в которых будет поставлена точка (движение на нас) либо крестик (движение от нас).

Для определения крутящих моментов возникающих в сечениях вала под действием внешних скручивающих моментовТ или поперечных сил , применим метод сечений. Мысленно рассечём вал на две части, левую отбрасываем и рассматриваем равновесие оставшейся правой части (рис. 6.7). Действие отброшенной части заменяем крутящим моментом.

Для равновесия отсечённой части необходимо, чтобы алгебраическая сумма всех моментов, действующих на неё, была равна нулю. Отсюда в рассматриваемом сечении n–n внутренний крутящий момент равен внешнемуТ.

Рис. 6.7

Если на отсечённую часть будут действовать несколько внешних моментов, то, рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от сечения,

(6.6)

Диаграмма, показывающая распределение значений крутящих моментов по длине вала, называется эпюрой крутящих моментов. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков крутящих моментов на эпюре. Вообще говоря, физического смысла знак крутящего момента не имеет, важно лишь принятое правило выдержать по всей длине вала.

Крутящий момент в сечении n – n будем считать положительным, когда внешний момент Т вращает отсечённую часть против часовой стрелки, если смотреть на отсечённую часть со стороны сечения. Если внешний момент вращает отсечённую часть по часовой стрелке при взгляде со стороны сечения, то крутящий момент в сечении будем считать отрицательным.

Построение эпюры крутящих моментов поясним на следующем примере. Рассмотрим вал AF, вращающийся с постоянной угловой скоростью в подшипникахК и N (рис. 6.8). Вал находится в равновесии под действием четырёх моментов, приложенных в сечениях B, C, D и E. Рассечём вал в любом месте на участке AB и, рассмотрев левую оставшуюся часть, определим, что на участке I крутящий момент в сечении равен нулю. Рассечём вал на участке II и в соответствии с (6.6), определим, что . Момент на участкеBC в соответствии с правилом знаков считаем положительным. Рассмотрим сечение с-с на участке СD, отбросив правую часть. Крутящий момент в сечении . Так как моментыТ₁ и Т₂ имеют одинаковое направление, момент в сечении определяется как их арифметическая сумма. Момент на IV участке определим как алгебраическую сумму внешних моментов, действующих на левую сторону от сечения d-d. .Очевидно, что такой же результат получится и в случае, если отбросить левую часть вала и рассмотреть равновесие оставшейся правой. Отметим, что метод сечений не определяет, какую именно часть вала нужно отбрасывать, но для упрощения решения выгоднее отбросить ту часть, на которую действует большее число внешних силовых факторов (внешних моментов). Этот вывод справедлив для определения внутренних силовых факторов при любых видах деформаций. На последнем, пятом, участке крутящий момент равен нулю.

Построенная эпюра имеет вид прямоугольников, в местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного в этом сечении внешнего момента.

Рис. 6.8

Если на вал действуют поперечные силы, вызывающие кручение

(см. рис. 6.6), то перед построением эпюр необходимо определить внешние моменты, создаваемые этими силами. Для схемы, изображённой на рис. 6.6, .

В практике чаще всего задаётся не внешний скручивающий момент, а передаваемая мощность Р и частота вращения n, при этом Р задаётся в киловаттах, а n – в оборотах в минуту. Так как то можно записать

, (6.7)

где размерность Т – [Нм]; размерность Р – [Вт] и ω – [рад/c]. Выразим угловую скорость через частоту вращенияn:

(6.8)

Подставим мощность Р и из (6.8) в формулу (6.7):

(6.9)

Зависимость (6.9) широко используется в практических расчётах, т.к позволяет определить крутящий момент в ньютон – метрах , используя единицы измерения мощности и частоты вращения соответственно в киловаттах и оборотах в минуту.