4.5. Обобщённый закон Гука

Определим и– деформации в направлении главных напряжений при плоском напряжённом состоянии (рис. 4.8). Для этого используем закон Гука для одноосного растяжения, а также зависимость между продольной и поперечной деформациями.

От действия только σ₁ относительное удлинение в вертикальном направлении одновременно в горизонтальном направлении относительное сужение

Рис. 4.8

От действия только в горизонтальном направлении относительное удлинениеа в вертикальном направлении относительное сужение

Суммируя деформации, получим

(4.13)

Если известны деформации и, то

(4.14)

Аналогично для объёмного напряжённого состояния:

(4.15)

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

5.1. Статические моменты плоских фигур

При изучении вопросов прочности, жёсткости и устойчивости необходимо уметь определять некоторые геометрические характеристики сечений, к которым относятся статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления.

Статическим моментом площади фигуры относительно оси х (рис. 5.1), взятой в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок dA фигуры на их расстоянии до оси. Перейдя от суммы к интегралу, выразим статический момент относительно оси х:

(5.1)

Статический момент относительно оси у можно записать в виде

(5.2)

Рис. 5.1

Рассматривая элементарную площадку как силу, а расстояние её от оси – как плечо силы, на основании теоремы Вариньона (сумма моментов составляющих равна моменту равнодействующей) можно записать:

(5.3)

где и– координаты центра тяжести всей площадиА относительно осей x и y. Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно какой–либо оси равен произведению всей площади на расстояние её центра тяжести от этой оси.

Если ипроходят через центр тяжести фигуры, то статический момент относительно этих осей равен нулю. Такие оси называются центральными. Размерность статического момента – метр кубический (м³); он может быть как величиной положительной, так и отрицательной. Если сложная фигура может быть разбита на простые, площади и центры тяжести которых легко определяются (прямоугольники, треугольники, круги), то статический момент всей фигуры относительно какой-либо оси может быть определён как сумма статических моментов отдельных её частей относительно той же оси:

(5.4)

где – статический момент всей фигуры;– статические моменты отдельных частей фигуры.

Обозначим площади отдельных частей фигуры через а расстояния их центров тяжести от осих – через Запишем выражение (5.4) в следующем виде:

откуда расстояние центра тяжести всей фигуры от оси х определяется формулой

. (5.5)

Аналогично вторую координату центра тяжести всей фигуры определим по формуле

. (5.6)