10.4. Пределы применимости формулы Эйлера

Формулой Эйлера можно пользоваться не всегда. При её выводе использовалось дифференциальное уравнение упругой линии, вывод которого основан на Законе Гука, а он справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предел пропорциональности σ_пр, т.е. напряжение, возникающее при действии :

,

где А – площадь поперечного сечения.

Поскольку – минимальный радиус инерции, то

. (10.7)

Величина характеризует влияние размеров стержня и способа закрепления концов, называется гибкостью стержня и обозначается.

Таким образом, Подставим её в (10.7) и получим

. (10.8)

Для того чтобы пользоваться формулой Эйлера, необходимо выполнение следующего условия:

. (10.9)

Решим это уравнение относительно гибкости и получим

. (10.10)

Для стали Ст3 .

Для чугуна

Для средне – и высокоуглеродистых, а также легированных сталей .

Если формула Эйлера неприменима, то обычно пользуются эмпирической формулой Тетмайера – Ясинского, полученной на основании многочисленных опытов:

(10.11)

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала (приводятся в справочниках).

10.5. Практические формулы расчёта на устойчивость

Вместо двух формул (Эйлера и Ясинского), каждая из которых пригодна для определённого диапазона гибкостей, удобнее иметь одну формулу, которой можно пользоваться при любой гибкости стержня.

Эта формула имеет вид

(10.12)

где – допускаемая сжимающая сила;

–основное допускаемое напряжение на сжатие;

–коэффициент продольного изгиба (уменьшение напряжения).

Величина зависит от материала и гибкости стержня (берётся по справочнику).

Для подбора сечения используем формулу

, (10.13)

где– допускаемая нагрузка.

При этом значением приходится задаваться, т.к. гибкостьнеизвестна, поскольку неизвестна площадь сеченияА, а гибкость зависит от неё. В качестве первого приближения рекомендуется принимать Затем определяюти по таблице –. Если получаем большую разницу между значениямии, то следует повторить расчёт, задавшись новым значением:

пока разница между последовательными значениями ине будет превышать 4…6 %.

Для стержней, имеющих значительные ослабления (например, от отверстий), кроме расчёта на устойчивость должен быть приведён расчёт на прочность:

.

При расчёте на устойчивость берётся полная площадь сечения брутто.

11. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ

КОЛЬЦЕ

В качестве примера расчёта детали, нагруженной силами инерции (маховики, роторы электрических машин и т.д.), рассмотрим равномерно вращающееся тонкостенное кольцо (рис. 11.1).

В каждой точке кольца действует равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q, вызванная центробежными силами. Обозначим через массу элемента кольца длиной 1 м;А – площадь поперечного сечения кольца; – плотность материала;r – средний радиус кольца; – угловая скорость вращения кольца.

Рис. 11.1

Силу инерции, действующую на элемент кольца длиной обозначимdF:

В радиальных сечениях кольца действует сила 2F , которая уравновешивается вертикальными составляющими силы dF. Спроектируем все силы на ось у:

откуда

Следовательно, в поперечном сечении кольца действует сила

где V – окружная скорость кольца. Напряжение в поперечном сечении

(11.1)

Относительная деформация (удлинение кольца):

где – абсолютное увеличение радиуса кольца.

Используя закон Гука при растяжении, определим абсолютную деформацию кольца, т.е. увеличение радиуса: или, с учётом (11.1),

(11.2)

1. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для немашиност. спец.

вузов / П.А. Степин. – 8-е изд. – М.: Высш. шк., 1988. – 367 с.: ил.

2. Поляков А.А. Сопротивление материалов: учеб. пособие / А.А. Поляков. –

Екатеринбург: УГТУ – УПИ, 2006. – 163 с.

3. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. – М.:

Высшая школа, 1989. – 624 с.