10.2. Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, когда сжимающая сила достигла критического значения, т.е. примем, что стержень слегка изогнут (рис. 10.4).

Рис. 10.4

Если моменты инерции относительно главных центральных осей поперечного сечения не равны между собой, то продольный изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости, т.е. поперечные сечения будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение.

Для определения критической силы используем приближённое дифференциальное уравнение упругой линии балки

. (10.1)

Изгибающий момент относительно центра тяжести сечения B в изогнутом состоянии

. (10.2)

Знак «–» берётся потому, что стержень изгибается выпуклостью вверх, а прогиб у – положителен. Если бы он изгибался выпуклостью вниз, то момент был бы положительным, а прогиб – отрицательным, т.е. мы снова получили бы тот же результат. С учётом (10.2) уравнение (10.1) примет вид

.

Обозначим и получим

(10.3)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение имеет вид

. (10.4)

Здесь С и D – постоянные интегрирования, для определения которых используем граничные условия:

1. при х=0 у=0;

2. при x=l у=0.

Из первого условия получаем С=0. Следовательно, стержень изгибается по синусоиде

.

Из второго уравнения получаем Dsin(al)=0. Это соотношение справедливо в двух случаях.

1-й случай: D=0. Но если C и D = 0, то, как следует из уравнения (10.4), прогибы стержня равны нулю, что противоречит условию исходной предпосылки.

2-й случай: sin(al)=0. Это условие выполняется, когда al принимает следующий бесконечный ряд значений:

где n – любое целое число.

Отсюда и.

Таким образом, получили бесконечное множество значений критических сил, соответствующих различным формам искривления стержня.

С практической точкой зрения интерес представляет наименьшее значение критической силы, при которой происходит потеря устойчивости стержня. Первый корень n=0 не даёт решения задачи. При n=1 получаем наименьшее значение критической силы

. (10.5)

Это и есть формула Эйлера.

Критической силе, определённой по этой формуле, соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной:

.

10.3. Влияние способа закрепления концов стержней

на критическую силу

Чаще всего концы стержня закрепляют одним из четырёх способов

(рис. 10.5, а, б, в, г).

Рис. 10.5

Второй способ – шарнирное закрепление обоих концов – уже рассмотрели (см. выше) при выводе формулы Эйлера.

При других способах закрепления обобщённая формула Эйлера для определения критической нагрузки имеет вид

, (10.6)

где – коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), зависящий от способа закрепления концов стержня;

–приведённая длина стержня.

Из (10.6) следует, что чем меньше , тем больше критическая сила, а следовательно, и допускаемая нагрузка на стержень.