2.1. Построение эпюр продольных сил

Рассмотрим случай осевого растяжения или сжатия, при котором внешние силы действуют по оси стержня. Для определения внутренних усилий (продольных осевых сил) применим метод сечений. Вначале определим реакцию связи .откуда.

Проводим сечение n-n, отбрасываем верхнюю часть и рассматриваем равновесие оставшейся части (рис. 2.1). Воздействие отброшенной части заменяем внутренним усилием N₁. Под действием двух внешних сил 7F и 2F и внутреннего усилия N₁ оставшаяся часть бруса будет находиться в равновесии. Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось и находим N₁:

Таким образом, в сечении n-n действует растягивающее усилие, величина которого равна 5F. Очевидно, что такой же результат получится, если сечение провести в любом месте на участке от точки приложения силы 7F до точки А. Рассуждая аналогичным образом, определим внутреннее усилие в сечении m-m. В этом сечении действует сжимающее усилие равное 2F. Принято растягивающее усилие считать положительным, а сжимающее –отрицательным.

Рис. 2.1

Построим график изменения продольных сил по оси стержня. Базовую ось графика проводим параллельно оси стержня, а значения продольных сил откладываем перпендикулярно оси в выбранном масштабе. Положительные значения откладывают вправо либо вверх, если ось горизонтальная, отрицательные значения – влево либо вниз. Такой график называется эпюрой продольных сил. Этими же правилами будем пользоваться при построении эпюр различных величин, таких как напряжения, крутящие моменты, перемещения и т.д.

2.2. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях

стержня

Нанесём на поверхность призматического стержня линии перпендикулярные и параллельные оси и приложим к нему растягивающую осевую силу F (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Можно заметить, что после деформации линии, нанесённой на стержень, сетки останутся взаимно перпендикулярными, а расстояние между горизонтальными линиями увеличится, при этом они останутся прямыми. Поскольку горизонтальные линии представляют собой след секущей плоскости, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, остались плоскими и нормальными к оси и после деформации. Это очень важная гипотеза сопротивления материалов, которая носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли.

На основании гипотезы Бернулли можно сделать вывод о том, что в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно распределённые по сечению, в противном случае горизонтальные линии не сохраняли бы прямолинейность и не были бы нормальными к оси. Касательные напряжения в этих сечениях отсутствуют, так как углы сетки остались прямыми, что свидетельствует об отсутствии сдвига слоёв материала стержня.

Продольная сила N является равнодействующей нормальных напряжений в поперечном сечении:

(2.1)

Поскольку σ = сonst, то откуда

. (2.2)

Формула (2.2) применяется и при сжатии с той разницей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными.