7.11. Пример определения деформаций при изгибе

методом начальных параметров

Определить угол поворота сечения и прогиб в середине пролёта двухопорной балки, изображённой на рис. 7.25. Профиль поперечного сечения – двутавр № 14 ГОСТ 8239-72, у которого осевой момент инерции. Балка нагружена сосредоточенной силойF=4 кH, сосредоточенным моментом и распределенной нагрузкой интенсивностьюq=4 кН/м. Длина каждого участка балки . Принять допускаемое нормальное напряжение при изгибеи линейный модуль упругости.

Рис. 7.25

Решение

1. Определение опорных реакций

Выбираем систему координат с началом в точке А, которая совпадает с левой опорой. Ось у направляем вверх, ось х – вправо. Составляем уравнения равновесия для плоской системы сил.

Определяем числовые значения опорных реакций балки:

Проверка:

2. Определение начальных параметров и

Для двухопорной балки известен один из начальных параметров – прогиб на левой опоре, совпадающей с началом координат Угол поворота сечения в начале координат определим из условия равенства нулю прогиба под второй опоройB, координата которой Запишем универсальное уравнение упругой линии (7.42) для конкретных условий нагружения и приравняем его нулю:

;

3. Определение угла поворота сечения балки с координатой

Подставим полученное значение начального параметра в универсальное уравнение упругой линии (7.41) для определения угла поворота в требуемом сеченииd:

;

Сечение d поворачивается по часовой стрелке, т.к. угол поворота сечения отрицательный.

4. Определение прогиба балки в сечении d с координатой

Подставим полученные значения ив универсальное уравнение упругой линии балки (7.42), учитывая, что координата сечения, в котором требуется определить прогиб,.

;

.

Балка в сечении d с координатой прогибается в сторону отрицательных значенийу, т.е. вниз.

8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

До сих пор мы изучали расчёты на прочность в случаях, когда материал находился в одноосном напряжённом состоянии (растяжении или сжатии) или в простейшем двуосном, при котором главные напряжения в каждой точке равны между собой по значению и противоположны по знаку (сдвиг и кручение).

В этих случаях для обеспечения прочности материала необходимо, чтобы наибольшие нормальные напряжения (кручение) не превосходили допускаемого значения, равного пределу текучести для пластичных и пределу прочности для хрупких материалов.

В практике часто встречаются случаи сложных напряжённых состояний (плоского и объёмного), при которых отличны от нуля два или три главных напряжения. Напомним, что ранее было принято следующее обозначение главных напряжений с учётом знака: . При сложном напряжённом состоянии условия прочности, которыми мы пользовались ранее,и– очевидно неприемлемы.

Для оценки прочности при сложном напряжённом состоянии используются теории прочности, которые определяют опасность перехода материала в предельное состояние на основе наиболее простых опытов, т.е. опытов с одноосным растяжением или сжатием.

Теорий прочности предложено несколько, и исследования в этой области продолжаются. Кратко рассмотрим те из них, которые находят применение в настоящее время.

Первая теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений. Сформулировать её можно следующим образом: прочность материала при сложном напряжённом состоянии обеспечивается, если наибольшее нормальное напряжение не превосходит допускаемого нормального напряжения, установленного для одноосного напряжённого состояния, т.е.

(8.1)

Эта гипотеза учитывает влияние на прочность лишь наибольшего главного напряжения, пренебрегая действием двух других главных напряжений и. Для пластичных материалов эта теория неприемлема, так как критерий возникновения текучести не подтверждается неравенством (8.1). Используется для хрупких материалов.

Вторая теория – наибольших линейных деформаций – в настоящее время не применяется.

Для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, к которым относится большинство марок конструкционных сталей, применяют третью и четвёртую теории прочности, обеспечивающие хорошие практические результаты.

Согласно третьей теории прочности, которая носит название теории наибольших касательных напряжений, прочность материала при сложном напряженном состоянии будет обеспеченной, если наибольшее касательное напряжение не превосходит допускаемого касательного напряжения, установленного для одноосного напряжённого состояния:

(8.2)

Можно показать, что при двух- и трёхосном напряжённом состоянии наибольшие касательные напряжения равны половине разности главных напряжений и расположены в сечениях под углом 45^о к направлению этих напряжений:

(8.3)

Допускаемое касательное напряжение связано с допускаемым нормальным при одноосном напряжённом состоянии соотношением . Следовательно, условие прочности по третьей теории, выраженное в нормальных напряжениях, можно записать в виде

, (8.4)

где – приведённое или эквивалентное напряжение.

Приведённое – это напряжение, которое следует создать в растянутом или сжатом образце, чтобы его прочность была эквивалентна прочности образца, находящегося в условиях сложного напряжённого состояния.

Недостатком третьей теории прочности является то, что она не учитывает влияние промежуточного главного напряжения .

Четвёртая – энергетическая теория прочности. Согласно этой теории прочность материала при сложном напряжённом состоянии будет обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации не превысит допускаемой удельной потенциальной энергии, установленной для одноосного напряжённого состояния. Согласно этой теории приведённое напряжение для плоского напряжённого состояния имеет вид [3]

, (8.5)

и условие прочности можно записать, как обычно, в виде неравенства

(8.6)

где допускаемое напряжение при растяжении или сжатии.

9. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ