7.7. Определение нормальных напряжений при изгибе

Метод сечений даёт возможность определить поперечную силу и изгибающий момент в сечении. Выяснение же закона распределения напряжений по сечению можно выполнить только на основании рассмотрения деформаций.

Если подвергнуть чистому плоскому изгибу балку с нанесённой на поверхность сеткой (рис. 7.14, а, б), то можно сделать следующие выводы:

1) линии n-n и m-m на поверхности балки после деформации повернулись на угол , оставаясь при этом прямыми. Прямые углы сетки не изменились. Это свидетельствует о том, что касательные напряжения в поперечных сечениях равны нулю;

2) волокно ab удлинилось, волокно ef укоротилось, а cd осталось без изменения. Слой балки на уровне волокна cd называется нейтральным слоем.

Можно также заметить, что волокна балки деформируются по – разному; большие деформации у волокон, наиболее удалённых от нейтрального слоя.

Определим закон изменения деформации по высоте сечения балки.

Отрезок b'b" является полным удлинением волокна ab, длина которого до деформации была равна длине волокна cd, принадлежащего нейтральному слою.

Рис. 7.14

Относительная деформация

где – радиус кривизны нейтрального слоя;– расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна.

Поскольку волокно бруса при изгибе растягивается или сжимается, применим закон Гука:

(7.6)

В соответствии с формулой (7.6) нормальные напряжения при изгибе изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Наибольшие напряжения будут у верхнего и нижнего краёв сечения, как это показано на эпюре (рис. 7.15).

Рис. 7.15

Установив закон распределения напряжений, можно их определить, исходя из условия равновесия.

Выделим в площади поперечного сечения элементарную площадку dA, отстоящую на расстоянии у от нейтральной оси, проходящей через нейтральный слой (рис. 7.16). Нормальная элементарная сила, действующая на этой площадке с учётом (7.6),

(7.7)

Для равновесия рассматриваемой части балки (рис. 7.16) необходимо, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси x, y и z и суммы моментов относительно этих осей были равны нулю (и), так как внутренние силыперпендикулярны этим осям;или, с учётом уравнения (7.7),Отношениене может быть равно нулю, так как отличны от нуля и модуль упругостиЕ, и кривизна нейтрального слоя. Следовательно, интеграл

представляющий собой статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Статический момент равен нулю в том случае, если он взят относительно центральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. Отсюда следует важный вывод о том, что нейтральная ось всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

Элементарный момент внутренний силы, действующей на площадке dA относительно нейтральной оси z :

Сумма всех элементарных моментов внутренних сил упругости по условию равновесия равна внешнему моменту, т.е.

где – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной осиz.

, откуда

(7.8)

Формула (7.8) является основной формулой теории изгиба. Величина представляет собой кривизну изогнутой оси балки и характеризует величину деформации при изгибе.

Из полученной формулы следует, что деформация при изгибе прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна произведению , которое называется жёсткостью балки при изгибе.

h _р

Рис. 7.16

Подставим значения в формулу (7.6):

. (7.9)

Формула (7.9) позволяет определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки, если известны изгибающий момент и момент инерции сечения.

На отсечённую часть балки может действовать не один внешний момент, как на рис. 7.16, а несколько, а также любая другая нагрузка в виде сосредоточенных сил и распределённых нагрузок. В этом случае уравнение равновесия содержит алгебраическую сумму моментов от всех внешних нагрузок, равную изгибающему моменту в сечении. Поэтому в дальнейшем вместо суммы внешних моментов в формулы следует подставлять изгибающий момент в сечении.

Формула (7.9) соответствует чистому изгибу. При поперечном изгибе в поперечных сечениях кроме нормальных действуют и касательные напряжения, вызывающие деформацию сдвига. Вследствие этого гипотеза плоских сечений теряет свою силу. Однако опыт показывает, что, несмотря на это, формула (7.9) даёт достаточно точные результаты и при поперечном изгибе, поэтому в дальнейшем при определении нормальных напряжений не следует делать различия между чистым и поперечным изгибом.