Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практика_2 курс.doc
Скачиваний:
95
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
785.92 Кб
Скачать

39

Вычислительная практика. 2 курс Решение систем линейных алгебраических уравнений

Преподаватель Толоконников И.Г.

2.1. Основные понятия и определения

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются важной математической моделью линейной алгебры. На их базе ставятся такие практические математические задачи, как:

– непосредственное решение линейных систем;

– вычисление определителей матриц;

– вычисление элементов обратных матриц;

– определение собственных значений и собственных векторов матриц.

Решение линейных систем является одной из самых распространенных задач вычислительной математики. К их решению сводятся многочисленные практические задачи нелинейного характера, решения дифференциальных уравнений и др.

Вторая и третья задачи являются также и компонентами технологии решения самих линейных систем.

Обычно СЛАУ n-го порядка записывается в виде

или в развернутой форме

(1)

или в векторной форме

, (2)

где

;;.

В соотношениях (2):

Аназывается основной матрицей системы сn2элементами;

= (x1,x2, ... ,xn)Т– вектор-столбец неизвестных;

= (b1,b2, ... ,bn)Т– вектор-столбец свободных членов.

Определителем (детерминантом – det) матрицыА n-го порядка называется числоD(det A), равное

.

Здесь индексы ,, ...,пробегают все возможныеn! перестановок номеров 1, 2, ...,n;k– число инверсий в данной перестановке.

Первоначальным при решении СЛАУ (1) является анализ вида исходной матрицы Аи вектора-столбца свободных членовв (2).

Если все свободные члены равны нулю, т.е. = 0, то системаназываетсяоднородной. Если же0, или хотя бы одноbi0 (), то система (2) называетсянеоднородной.

Квадратная матрица Аназываетсяневырожденной, илинеособенной, если ее определитель |A|0. При этом система (1) имеет единственное решение.

При |A| = 0 матрицаАназываетсявырожденной, илиособенной, а система (1) не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Если |A|0 система (1) называетсяплохо обусловленной, т.е. решение очень чувствительно к изменению коэффициентов системы.

В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов: диагональные, трехдиагональные (частный случай ленточных), симметричные (аij=aji), единичные (частный случай диагональной), треугольные и др.

Решение системы (2) заключается в отыскании вектора-столбца = (x1,x2, ... ,xn)Т, который обращает каждое уравнение системы в тождество.

Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного, которые появляются в связи с округлением и ограниченностью разрядной сетки ЭВМ, – погрешность и «невязка»r:

(3)

где – вектор решения. Как правило, значения вектора– неизвестны.

Доказано, что если 0, то иr = 0. Обратное утверждение не всегда верно. Однако если система не плохо обусловлена, для оценки точности решения используют невязкуr.

2.2. Методы решения слау

Методы решения СЛАУ делятся на две группы:

– прямые (точные) методы;

– итерационные (приближенные) методы.

К прямымметодам относятся такие методы, которые, в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить точные значения неизвестных. Они просты, универсальны и используются для широкого класса систем. Однако они не применимы к системам больших порядков (n < 200) и к плохо обусловленным системам из-за возникновения больших погрешностей. К ним можно отнести:правило Крамера, методыобратных матриц,Гаусса,прогонки,квадратного корняи др.

К приближеннымотносятся методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы лишь с заданной точностью. Это итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. К ним относятся методыпростой итерации,Зейделя.