Эйлеровы графы

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа. Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа.

Связный граф называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро. Такая цепь называетсяэйлеровой цепью. Отметим, что в этом определении требуется, чтобы каждое ребро проходилось только один раз. Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым, при этом каждый эйлеров граф будет полуэйлеровым.

Примеры.

Теорема 4.1. Если граф обладает эйлеровым циклом, то он является связным, а все его вершины — четными.

Теорема 4.2. Если граф связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.

Теорема 4.3. Если граф обладаетэйлеровым путем с концами ине совпадает с, тограф является связным, ии— единственные нечетные его вершины.

Теорема 4.4. Если граф связный ииединственные нечетные вершины его, тограф обладаетэйлеровым путем с концамии.

Теорема 4.5. Если связный граф имеетнечетных вершин, то найдется семейство изпутей, которые в совокупности содержат все ребра графа в точностипо одному разу.

29