4. Метод разделения переменных

Определение. Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

, (4)

с непрерывными функциями и

Смысл этого термина заключается в том, что переменные иразделены по разным частям равенства (4).

Напомним, что, согласно определению, дифференциал функции есть произведение производной на дифференциал независимой переменной:. Если умножить обе части равенства (4) на, получим:

. (5)

Это другой, более традиционный способ записи уравнения с разделенными переменными.

Теорема. Если в уравнении (5) функции иимеют первообразныеи, то общий интеграл уравнения имеет вид:

, (6)

где — произвольная постоянная.

Замечание. Если для обозначения первообразных использовать символ неопределенного интеграла, то общий интеграл записывается в виде:

. (7)

Доказательство. Опуская доказательство того, что уравнение (6) действительно задает неявную функцию , убедимся, чтоудовлетворяет уравнению (4). Для этого продифференцируем поравенство (6), применяя для левой части правило производной сложной функции с промежуточной переменной:

,

или, учитывая, что ипервообразные дляи:

.

Остается убедиться, что за счет выбора значения произвольной постоянной можно обеспечить выполнение любых начальных условий. Подставляя начальные условия в (6), получаем:

. ▄

Примеры. 1. Для уравнения найдем общий интеграл и частный интеграл для начальных условий. Имеем:

—

это общий интеграл.

Подставим теперь в общий интеграл начальные условия и найдем соответствующее значение константы :

.

Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:

.

2. Рассмотрим уравнение с начальными условиями. Умножая обе части уравнения наи затем интегрируя, получаем:

–это общий интеграл. Выражая отсюда явно черези, получаем общее решение:. Подстановка начальных условий в общее решение дает:, так что. Следовательно, функцияявляется решением задачи Коши.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

, (8)

с непрерывными функциями .

В этом уравнении каждая из частей является произведением двух множителей, один из которых зависит только от , а другой – только от.

От этого уравнения легко перейти к уравнению с разделенными переменными, деля обе части на произведение («разделяя переменные»):

.

Примеры. 1. . Обе части разделим наи умножим на:. Интегрируем:

—

общий интеграл.

2. ; начальные условия:. Записываем производнуюкак отношение дифференциалов:

.

Обе части умножим на , разделим наи проинтегрируем:

—

общий интеграл. Найдем теперь частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям. Подставляя начальные условия в полученное уравнение, имеем:

; .

Следовательно, частный интеграл, дающий решение задачи Коши, имеет вид:

.

5. Однородное уравнение первого порядка

Определение. Однородным уравнением первого порядка называется уравнение, разрешенное относительно производной:

, (9)

в котором функция при всех вещественныхудовлетворяет условию:

.

Полагая в этом равенстве , убеждаемся, что правая часть зависит только от отношения переменных:.

Приведем примеры таких функций:

1) ; 2). Напротив, функция, как легко проверить, не удовлетворяет условию.

Введем новую искомую функцию , так что. Тогда формула для производной произведения дает:,  и уравнение (9) принимает вид:

—

уравнение с разделяющимися переменными относительно новой искомой функции . Если для него найден общий интеграл (методом, описанным в предыдущем разделе):

,

то, заменяя в нем на, получим общий интеграл для исходной неизвестной функции:

.

Алгоритм решения однородного уравнения первого порядка:

1. Проверка однородности: .

2. Введение новой искомой функции .

3. Замена в уравнении  на,на.

4. Решение полученного уравнения с разделяющимися переменными относительно .

5. Замена в полученном общем интеграле на.

Пример. Решим уравнение . Здесь, так что уравнение, действительно, является однородным. После введения новой переменнойполучаем уравнение:

.

Заменяя на, получаем общий интеграл для исходной неизвестной функции:.