§ 9. Условный экстремум функции.

Функция имеет условный максимум (минимум) в точке,если существует такая окрестность точкидля всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связивыполняется неравенство.

Исследование функции на условный экстремум сводят к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

Константы называют множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой

(25)

Решение системы (25) даёт координаты точки(или системы точек), в которой возможен условный экстремум.

Достаточные условия условного экстремума вытекают из исследования на знак при условии, что дифференциалыудовлетворяют уравнениям

(26)

Точнее говоря, функция имеет условный максимум (минимум) в точке, если для всевозможных наборов, удовлетворяющих (26), выполняется неравенство

()

Пример 13. Найти условный экстремум функции при условии

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При поэтому функцияв точкеимеет условный минимум, а при,следовательно, функцияимеет в точкеусловный максимум.

Пример 14. Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения

Решение: Построим функцию Лагранжа

Стационарные точки определим из системы

(27)

Умножим первое уравнение на , а второе – на. После вычитания получим

(28)

Если , то из первых двух уравнений системы. Но такие значения переменныхине удовлетворяют уравнению связи. Значити так как то из (27) имеем . Подставляя это в уравнение связи, получаем:откуда. Таким образом, из (27) .

Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа.

Далее,

Тогда для при

Получаем

Из уравнения связи при находим соотношение для дифференциалови,.

Подставляя в(28), получаем равенство

Поэтому, при в точкефункция имеет условный максимум, а при– условный минимум. Экстремальное значение равно .

Примеры для самостоятельной работы:

Найти условный экстремум функции.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Ответы: 9.1. 9.2. 9.39.4. 9.5седловая точка, . 9.6

9.7

§ 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции необходимо найти стационарные точки внутри области, вычислить значения функции в этих точках и сравнить с верхней и нижней гранью на границе области.

Пример 15.

Решение: Функция непрерывна в замкнутом круге. Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих, наибольшего и наименьшего, значений функции.

Система

имеет решение . Так както в кругерешений нет. Поэтому экстремум достигается на границе круга

Составим функцию Лагранжа

Для определения точек локального экстремума функции Лагранжа решим систему уравнений

Итак, находим две точки возможного экстремума

Вычислим значения функции в этих точках

Следовательно,

Примеры для самостоятельной работы:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

25