§ 7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость к поверхности в её точке (точка касания) есть плоскость, проходящая через, которая содержит в себе все касательные, проведённые в точкек всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку.

Нормалью к поверхности, проведенной в точке , называется прямая проходящая через точкуи перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Если уравнение поверхности имеет вид: то уравнение касательной плоскости в точкеимеет вид:

(20)

Уравнение нормали к этой поверхности в точке есть

(21)

В случае явного задания поверхности уравнения (20) и (21) примут вид

(22)

Пример 9. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

Решение: Имеем

Тогда, согласно (22) уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: то есть, а уравнение нормали

Пример 10. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке

Решение. Имеем

Тогда

Уравнение касательной плоскости запишем в виде

или,а уравнение нормали

Примеры для самостоятельной работы:

Дано уравнение поверхность . Составить уравнение касательной плоскости и нормали к данной поверхности в точке.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Ответы: 7.1

§ 8. Локальный экстремум функции нескольких переменных.

Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , для всех точеккоторой, отличных от точки, выполняется неравенство.

Необходимое условие экстремума:

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке, то

(23)

или для всех(24)

Точки, в которых выполняется (24), называют стационарными.

Достаточное условие экстремума:

Пусть - стационарная точка функции. Предположим, что функциядважды непрерывно дифференцируема в окрестности точкиизначение второго дифференциала в точке, то есть

=

Легко заметить, что является квадратичной формой относительно

Тогда:

1. Если , как функцияимеет постоянный знак при всевозможных наборах, значений не равных нулю одновременно, то функция имеет в точкеэкстремум, а именно максимум, прии минимум при

2. Если является знакопеременной функцией, то есть принимает как положительные, так и отрицательные значения, то точкане является точкой экстремума.

3. Если или, причём существуют такие, при которых, то функцияв точкеможет иметь экстремум, а может и не иметь. В этом случае необходимо провести дополнительные исследования.

Что бы выяснить будет ли квадратичная форма

=

знакопостоянной, применяют критерий Сильвестра.

Положим,

1. Для того чтобы была знакоположительна, то естьпри любых наборахнеобходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

2. Для того чтобы была знакоотрицательна, то естьпри любых наборахнеобходимо и достаточно, чтобы знаки чиселчередовались, причём

Применим критерий Сильвестра, для случая функции двух переменных . Положим

Тогда:

1. Если ,то функция имеет в точкеэкстремум, а именно максимум прии минимум при.

2. Если , тофункция в точке экстремумане имеет.

3. Если ,то для решения вопроса об экстремуме в точке требуется дополнительное исследование.

Пример 11. Исследовать на экстремум функции

.

Решение. а) Определим стационарные точки из системы

Откуда имеем единственную стационарную точку: Воспользуемся достаточным условием

Таким образом,

, ,,

то есть, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно определённую квадратичную форму. Следовательно, в точкефункция имеет минимум.

Находим,

Стационарные точки определяются из системы

Она имеет три решения ,,. Для применения достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные

Составим выражение . В точке,следовательно, необходимы дополнительные исследования.

Рассмотрим

При имеем

При имеемТаким образом, приращениепринимает значения разных знаков, а поэтому в точкеэкстремума нет. Далее в точках,и так както в этих точках достигается минимум, причём

Пример 12. На плоскости даны точек,в которых сосредоточенны массы. Требуется найти на этой плоскости точкутакую, относительно которой момент инерции указанной системы материальных точек минимален.

Решение. Момент инерции относительно точек равен

.

Таким образом, задача сводится к отысканию точки , в которой функция достигает своего минимума.

Имеем

откуда единственной стационарной точкой будет точка с координатами

Далее, так как

B= C= то

и значит, функция имеет в точке локальный минимум.

Нетрудно увидеть, что значение функции в этой точке является минимальным.

Примеры для самостоятельной работы:

Исследовать функцию на экстремум.

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Ответы: 8.1.8.2 - седловая точка. 8.3.8.4 - седловые точки.8.5. 8.6. 8.7.