§ 4. Дифференцирование сложных функций.

Пусть - функция двух переменныхи, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной, то есть. Тогдаесть сложная функция независимой переменной. Еслидифференцируемы в точке, а функциядифференцируема в точке, то сложная функциятакже дифференцируема в точке, причём

(8)

Аналогично для функции ,

(9)

Пример 4.

,

Решение. Используя (8), получаем

Таким образом,

Заметим, что можно получить другим способом: сначала выразить явно через, затем дифференцировать по.

Пусть теперь функция двух переменныхи, причем. В этом случае имеют место формулы

и (10)

(11)

Пример 5. Пусть

Найти

Решение. Применительно к условию примера соотношения (10) примут вид

В общем случае, при дифференцируемости функции переменных, каждая из которых является дифференцируемой функцией от переменных. Имеют место формулы

(12)

Примеры для самостоятельной работы:

Найти:

1. 

2. 

3. 

4. если

5. 

6. если

7. 

8. 

9. если

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

§ 5. Дифференцирование неявной функции.

Пусть переменные исвязаны уравнением:(13)

Если каждому значению из некоторого промежутка отвечает значение, при котором выполняется (13), то говорят, что уравнение (13) определяет функцию, заданную неявно.

Для нахождения найдём сначала, по правилу дифференцирования сложной функциии, то есть

. (14)

Откуда, предполагая, что имеем

. (15)

Аналогично, если функция задана неявно уравнением

, (16)

Пример 6. Функция задана уравнением

Найти

Решение. Имеем

Тогда Таким образом,

Пример 7. Найти ифункции, заданной неявно уравнением

Решение. Пусть . Тогда

Примеры для самостоятельной работы:

Дана функция , заданная неявно. Найти частные производные и дифференциалы первого и второго порядков.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

§ 6. Производная по направлению, градиент.

Дана функция и точка. Найти, производнуюв направление векторав точке

Пусть =-единичный вектор данного направления ,

- радиус-вектор точки

Производная функции в точкепо направлениюопределяется соотношением

(17)

Отметим, что характеризует скорость изменения функции в направлении.

Градиентом функции называют вектор, координаты которого являются частными производными функциив точке, то есть

(18)

Ясно, что

(19)

Пример 8. Дана функция .Найти и в направление вектора в точке

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора .

Где ,,- координаты. Тогда единичный вектор

Далее, согласно (18)

а значит

Таким образом, =

Примеры для самостоятельной работы:

Дана функция и точка. Найти,

Производную в направление вектора в точке.

1. 

2. 

3. 

4. - выбрать так, чтобы была наименьшей.

5. - выбрать так, чтобы была наибольшей.

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Ответы: 6.1 ,.6.2 ,. 6.3,. 6.4,.6.5 ,.6.6 ,.6.7 ,.6.8 ,.6.9 ,.6.10 ,.6.11 ,.