Глава 4. Краткое введение в теорию комплексных чисел

При решении квадратных уравнений вида:

,

появилась необходимость введения нового числа

Если обозначить , то мы имеем решение такого уравнения, где корни: и .

Эти числа, содержащие , умноженные на действительное число, называются мнимыми числами. Иначе говоря, наше уравнение имеет два мнимых корня.

Комплексным числом Z называется выражение

,

где aи b - действительные числа, причем если:

1. , то - мнимое число;

2. , то - действительное число.

Два комплексных числа и , отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными.

Действительное число , называется модулем комплексного числа . Очевидно, что модули сопряженных комплексных чисел равны.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки с координатами и .

Рис. 5. Геометрическое изображение комплексного числа

Точкам, лежащим на оси , соответствуют действительные числа . Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа .

Соединив точку с началом координат, получим вектор0A, который можно считать геометрическим изображением комплексного числа.

Из рисунка видно, что

и, следовательно, комплексное число можно представить в форме

,

которая называется тригонометрической формой записи комплексного числа, где -модуль комплексного числа;

-аргумент комплексного числа.

Все основные действия (сложение, умножение, деление, возведение в степень) над комплексными числами производятся по правилам действий над алгебраическим двучленом с учетом того, что

.

Например:

Если каждому значению комплексного переменного Z из некоторой области комплексных значений соответствует определенное значение другой комплексной величиныu тоu есть функция комплексного переменного т.е.u=f(Z).

Рассмотрим одну функцию комплексного переменного - показательную функцию

Комплексные значения функции u определяются так:

Если в этой формуле x=0, то получим

Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.

Глава 5. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 15. Уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные первого y и второго y порядков называется уравнением второго порядка.

F(x, y, y, y )=0.

1. Линейное однородное дифференциальное уравнение

Определение 16. Уравнение вида

y+ p y +q y = 0, где

p и q постоянные действительные числа, аy - функция переменной x называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Пример 3. y- 5 y +6 y = 0, где p = -5 , q = 6.

Определение 17. Решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является функция

y =C₁ y₁ + C₂ y₂ ,

при условии, что функции y₁ и y₂ -

1) частные решения данного дифференциального уравнения 2) y₁k y₂, где k = const, т.е. эти функции не пропорциональны.

Итак, пусть мы имеем однородное уравнение второго порядка

y+ p y +q y = 0 (1)

Чтобы найти общее решение, как было сказано выше, надо определить два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде:

y = e ^kx, гдеk = const,

тогда : yk e ^kx ;y k²e ^kx (2)

Подставим полученные выражения (2) в наше дифференциальное уравнение (1):

k²e ^kx + p k e ^kx +q e ^kx = 0 (3)

Вынесем e ^kxза скобки:

e ^kx ( k² + p k + q ) = 0 (4)

Из (4) следует, что, если e ^kxне равно 0, то уравнение равно 0 когда:

k² + p k + q = 0 (5)

Полученное квадратное уравнение (5) называется характеристическим уравнениемпо отношению к данному дифференциальному уравнению.

Рассматривая пример 3, где y- 5 y +6 y = 0, характеристическое квадратное уравнение имеет вид:k² - 5 k + 6 = 0.

Характеристическое квадратное уравнение имеет два корня k₁иk₂.

,

Возможны следующие случаи:

I. k₁иk₂- действительные и притом не равные между собой числа, т.е.k₁k₂.

II. k₁=k₂- действительные равные числа.

III. k₁иk₂- комплексные числа.

IV. k₁иk₂- мнимые числа.

Подводя итог выше изложенному, можно написать алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения, который сводится к следующему.