4. Функция нескольких переменных.

Рассматривая функции одного переменного, мы не сказали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более переменных. Например, площадь прямоугольника , где каждой паре значенийxи y соответствует одно определенное значение S. Следовательно, функцияSявляется функцией двух аргументов или функцией двух переменных.

Функция ,где каждому изменениюnнезависимых аргументов соответствует одно значение функции называется функциейn переменных.

4.1. Частные производные.

Пусть zявляется функцией двух переменных:. Если один из аргументов, например,xизменяется на, а остальные аргументы остаются неизменными, то мы имеем частное приращение.

.

Также определяем частное приращение при изменении аргумента yпри не изменяющемся аргументеx.

.

Определение 5.Частной производной функции z по аргументу x называется предел отношения частного приращения к приращениюпри стремлении.

Частная производная может обозначаться:

Следовательно, согласно определению имеем две частные производные.

.

Если мы имеем некоторую функцию nнезависимых переменных, то и частных производных в общем случае будем иметьn.

Пример: , т. е. Мы имеем функцию четырех переменных. Найдем все частные производные этой функции.

.

4.2. Полное приращение и полный дифференциал.

Пусть дана функция . Полное приращение имеет вид:

.

Полным дифференциалом данной функции называется выражение

,

где dx и dy –дифференциалы независимых переменных.

Понятие полного дифференциала может быть распространено на функцию любого числа независимых переменных.

Если дифференциалы независимых переменных достаточно малы, то можно считать, что полный дифференциал функции равен приближенно приращению функции: . Зная также, чтои, можно записать формулу для полного приращения:.

4.3. Примеры для самостоятельной работы

1.Найти полный дифференциал для следующих функций:

1. 4)

2. 5)

3. 6)

2. Вычислить полное приращение функции z, если дано:

,,,

5. Неопределенный интеграл.

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть дана функция , которая является производной некоторой функции, т. е..Необходимо найти функцию. Если такая функция существует, то она есть первообразная от данной функции.

Определение 6. Функцияназывается первообразной от функциина отрезке, если во всех точках этого отрезка выполняется равенство.

Пример. Найти первообразную от функции .

Из определения первообразной следует, что функция является первообразной, так как.

Очевидно, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной, так как в качестве первообразных могут быть следующие функции: , гдеС- произвольная постоянная, так как.

С другой стороны, не сложно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции.

Определение 7.Если функцияявляется первообразной для, то выражениеназывается неопределенным интегралом от функциии обозначается символом.

Таким образом, по определению , если.При этом функциюназывают подынтегральной функцией, а-подынтегральным выражением.

Итак, согласно выше изложенному неопределенный интеграл представляет собой семейство функций.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оy.

Зададимся вопросом: для всякой ли функции можно найти первообразные, а,значит, и неопределенный интеграл? Оказывается, что не для всякой. Более того, если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.

Определение 8. Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием