integral
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿
А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ
Интегралы.
Часть 1. Основные приёмы интегрирования.
(Учебное пособие)
Ростов–на–Дону
2015
В настоящем учебном пособии подробно разбираются и предлагаются для самостоятельного решения задачи по неопределённым интегралам. Собрано более 150 задач. Пособие отражает опыт преподавания авторами курса высшей математики в институте высоких технологий и пьезотехники ЮФУ и предназначено студентам этого института.
Печатается в соответствии с решением учёного совета института высоких технологий и пьезотехники федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования ¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿.
2
Содержание |
|
|
1 |
Вычисление неопределённых интегралов с помощью |
|
|
табличных |
4 |
2 |
Замена переменных в неопределённом интеграле |
14 |
3 |
Интегрирование по частям |
27 |
Ответы |
42 |
|
Предметный указатель |
45 |
|
Список литературы |
47 |
3
1Вычисление неопределённых интегралов с помощью табличных
Определение. 1.1 Функцию F (x) называют первообразной для функции f(x) в некотором промежутке, если всюду в этом промежутке F 0(x) = f(x):
Если F (x) некоторая первообразная для f(x); то совокупностью всех первообразных функции f(x) является семейство функций fF (x) + Cg ; где C - производящая постоянная.
Определение. 1.2 Совокупность всех первообразных функции f(x) называют её неопределённым интегралом и обозначают символом
R
f(x) dx:
Если F (x) некоторая первообразная для f(x); то
R
f(x) dx = F (x) + C;
где С - произвольная постоянная.
Приводимые ниже соотношения (легко проверяемые дифференцированием правых частей) образуют таблицу основных интегралов.
1. |
R |
|
||||
dx = x + C: |
|
|||||
2. |
x dx = x +1+1 |
+ C; 6= 1: |
||||
|
R |
|
||||
3. |
R |
|
||||
|
1 |
dx = ln jx + aj + C: |
||||
x+a |
||||||
4. |
ax dx = lnaxa + C; a > 0; a 6= 1: |
|||||
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
(в частности, |
ex dx = ex + C) |
R
5.
sin x dx = cos x + C:
R
6. cos x dx = sin x + C:
R
7.
sin12 x dx = ctg x + C:
4
8. |
R |
|
1 |
|
|
dx = tg x + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
1 |
dx = a1 arctg xa + C; a 6= 0: |
|
|||||||||||||||||||
R |
a2+x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
a 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||
10. |
R |
|
1 |
|
|
dx = |
1 |
|
|
a+x + C; a = 0: |
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
11. |
|
pa2 |
x2 |
dx = arcsin a + C; a > 0: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
2a |
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
12. |
|
p |
|
dx = ln x + |
|
x |
+ a |
+ C; a 6= 0: |
||||||||||||||
R |
x21+a2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
dx = ln |
j |
x + px |
|
a |
j |
|
6 |
||||||||||
|
|
x |
a |
|
||||||||||||||||||
R |
p |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
+ C; a = 0: |
14. sh x dx = ch x + C:
15. |
R |
ch x dx = sh x + C: |
|||
16. |
R |
1 |
|
dx = ch x + C: |
|
R |
sh2 x |
|
|||
17. |
1 |
|
|
dx = th x + C: |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
ch |
x |
Следующие свойства позволяют (во многих случаях) свести вычисление неопределённого интеграла к табличным интегралам:
RR
1.cf(x) dx = c f(x) dx; c = const;
R |
R |
R |
2. |
(f(x) + g(x)) dx = |
f(x) dx + g(x) dx: |
В приводимых ниже примерах предлагается вычислить неопределённые интегралы, представляя их с помощью подходящих преобразований подинтегральных функций в виде сумм табличных.
Пример. 1.1
R
tg2 x dx:
Решение.
Воспользуемся равенством 1+tg2 x = cos12 x; откуда tg2 x = cos12 x 1: Получаем
RR
tg2 x dx =
1
cos2 x 1
R
dx =
1
cos2 x
R
dx dx = tg x x + C:
5
Пример. 1.2
R
sin4 x4 + cos4 x4 dx
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуем подинтегральную функцию следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
1 |
x |
|
|||||||||||
sin4 |
|
+ cos4 |
|
|
= sin2 |
|
+ cos2 |
|
|
|
2 sin2 |
|
|
|
cos2 |
|
= 1 |
|
|
sin2 |
|
|
= |
||||||||||||
4 |
4 |
4 |
4 |
|
4 |
4 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
1 |
|
|
1 cos x |
= |
|
3 |
+ |
1 |
cos x: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, |
sin4 |
|
4 + cos4 |
|
|
dx = |
R |
|
4 + 4 cos x dx = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
R |
|
|
|
|
4 |
|
Пример. 1.3
dx + |
1 |
R |
|
|
|
|
4 |
|
R
cos x dx = 34x + 14 sin x + C:
dx
(3 + x2)(4 + x2)
Решение.
Подинтегральную функцию представим в виде
1 |
= |
(4 + x2) (3 + x2) |
= |
|
1 |
|
|
1 |
: |
|
(3 + x2)(4 + x2) |
(3 + x2)(4 + x2) |
(3 + x2) |
(4 + x2) |
|||||||
|
|
|
Значит
R
dx
(3 + x2)(4 + x2) =
R
3 + x2 |
4 + x2 dx = |
|
1 |
1 |
|
= |
R |
1 |
dx |
|
|||
|
3 + x2 |
R
1 |
1 |
x |
|
1 |
x |
|
||||||
|
dx = p |
|
arctg p |
|
|
|
|
arctg |
|
|
+ C: |
|
4 + x2 |
2 |
2 |
||||||||||
3 |
3 |
6
Пример. 1.4
R
Решение.
Разделим x2 + 3x + 5 на x + 2
x2 + 3x + 5 dx x + 2
x2 +3x+5 x + 2 x2 +2x x + 1 x +5
x +2
3
Таким образом
следовательно,
Получаем:
R
x2 + 3x + 5 = (x + 1)(x + 2) + 3;
x2 + 3x + 5 |
= x + 1 + |
3 |
: |
|
|
|||||
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
R |
x + 2 |
|
||||||
x2 + 3x + 5 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
dx = |
x + 1 + |
|
|
dx = |
||||
x + 2 |
|
x + 2 |
R |
R |
R |
= x dx + |
|
dx + 3 |
dx = x + 2
=x2 + x + 3 ln jx + 2j + C: 2
Пример. 1.5
R |
cos 3x + 3 cos x + 5 dx |
|
|
|
|
|
1 + cos 2x |
7
Решение.
Воспользовавшись формулами
cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x и 1 + cos 2x = 2 cos2 x;
находим:
R
cos 3x + 3 cos x + 5 dx = 1 + cos 2x
R
4 cos3 x 3 cos x + 3 cos x + 5 dx = 2 cos2 x
R
=
4 cos3 x + 5 |
dx = |
2 cos2 x |
R
|
5 |
|
2 cos x + |
2 cos2 x |
dx = |
R
= 2
Пример. 1.6
cos x dx +
5
2
R
dx |
|
5 |
||
|
= 2 sin x + |
|
|
tg x + C: |
cos2 x |
2 |
R
Решение.
5 + sin x + 7 cos x + sin 2x 2 sin2 x dx 3 + sin x + cos x
Преобразуем числитель дроби под знаком интеграла, используя соотношения
sin 2x = 2 sin x cos x и sin2 x = 1 cos2 x;
5+sin x+7 cos x+sin 2x 2 sin2 x = 5+sin x+7 cos x+2 sin x cos x 2+cos2 x =
=3 + sin x + 7 cos x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x =
=3 + sin x + cos x + 6 cos x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x =
=3 + sin x + cos x + 2 cos x(3 + sin x + cos x) = (3 + sin x + cos x) (1 + 2 cos x)
Тогда
R
5 + sin x + 7 cos x + sin 2x 2 sin2 x dx = 3 + sin x + cos x
8
R
=
(3 + sin x + cos x) (1 + 2 cos x) dx = 3 + sin x + cos x
R |
R |
R |
= (1 + 2 cos x) dx = |
|
dx + 2 cos x dx = x + 2 sin x + C: |
Пример. 1.7 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
10 + 6p2 sin |
x + 4 |
|
+ sin 2x dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Преобразуем выражение под знаком корня следующим образом: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
10 + 6p2 sin x + |
|
|
+ sin 2x = 9 + 6p2 sin x + |
|
|
+ 1 + sin 2x = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= 9 + 6p2 sin x + |
|
+ 12 |
+ sin 2x = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= 9 + 6(sin x + cos x) + (sin x + cos x) |
= (3 + sin x + cos x) : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(мы использовали здесь соотношения sin x + cos x = p |
|
sin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
x + |
; sin 2x = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 sin x cos x и sin2 x + cos2 x = 1). Отсюда получаем |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(3 + sin x + cos x)2 dx = |
|||||||||||||||||||||||
|
10 + 6p2 sin x + 4 |
|
+ sin 2x dx = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||||
= |
(3+sin x+cos x) dx = 3 |
|
|
dx+ |
sin x dx+ cos x dx = 3x cos x+sin x+C: |
Пример. 1.8
R
pp
x2 + 2 x2 1 p dx
x2 1
9
Решение.
Заметим, что
|
x |
2 |
+ 2p |
|
|
|
|
2 |
1 + 2p |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
x2 |
1 = x |
x |
|
1 + 1 = |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
+ 1 = |
|
|
|
|
|
+ 1 |
: |
|||||
|
x2 |
1 |
x2 |
1 |
|
|
x2 |
1 |
|||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
С учётом этого находим:
R |
p |
|
p |
|
|
x2 |
+ 2 x2 1 dx = |
||||
|
|
|
|
|
p
x2 1
p
R x2 1 + 1
= p dx = x2 1
R
R
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
x2 |
1 + 1 |
|
dx = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
px |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 + px2 1 |
dx = |
RR
=dx +
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= x + ln |
x + px2 |
1 |
+ C: |
||||
px2 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить следующие интегралы:
1. |
R |
2. |
R |
5x9 + 4x3 + 2 dx |
3x2 + 6x + 8 dx |
3. |
x2 |
+ 2 2 |
dx |
|
R |
|
|
4. |
x2 |
x + 1 2 |
dx |
|
R |
|
|
R
5.x3 x
3 dx
R
6.
(2x 3)3 dx
R |
x3 + 3x dx |
R |
7. (x 2) |
8. (x 1) (2x + 3) (x + 1) dx |
10