Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

integral

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
385.08 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ

Интегралы.

Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

(Учебное пособие)

Ростов–на–Дону

2015

В настоящем учебном пособии подробно разбираются и предлагаются для самостоятельного решения задачи по неопределённым интегралам. Собрано более 150 задач. Пособие отражает опыт преподавания авторами курса высшей математики в институте высоких технологий и пьезотехники ЮФУ и предназначено студентам этого института.

Печатается в соответствии с решением учёного совета института высоких технологий и пьезотехники федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования ¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿.

2

Содержание

 

1

Вычисление неопределённых интегралов с помощью

 

табличных

4

2

Замена переменных в неопределённом интеграле

14

3

Интегрирование по частям

27

Ответы

42

Предметный указатель

45

Список литературы

47

3

1Вычисление неопределённых интегралов с помощью табличных

Определение. 1.1 Функцию F (x) называют первообразной для функции f(x) в некотором промежутке, если всюду в этом промежутке F 0(x) = f(x):

Если F (x) некоторая первообразная для f(x); то совокупностью всех первообразных функции f(x) является семейство функций fF (x) + Cg ; где C - производящая постоянная.

Определение. 1.2 Совокупность всех первообразных функции f(x) называют её неопределённым интегралом и обозначают символом

R

f(x) dx:

Если F (x) некоторая первообразная для f(x); то

R

f(x) dx = F (x) + C;

где С - произвольная постоянная.

Приводимые ниже соотношения (легко проверяемые дифференцированием правых частей) образуют таблицу основных интегралов.

1.

R

 

dx = x + C:

 

2.

x dx = x +1+1

+ C; 6= 1:

 

R

 

3.

R

 

 

1

dx = ln jx + aj + C:

x+a

4.

ax dx = lnaxa + C; a > 0; a 6= 1:

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

(в частности,

ex dx = ex + C)

R

5.

sin x dx = cos x + C:

R

6. cos x dx = sin x + C:

R

7.

sin12 x dx = ctg x + C:

4

8.

R

 

1

 

 

dx = tg x + C:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

R

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

1

dx = a1 arctg xa + C; a 6= 0:

 

R

a2+x2

 

 

a 1

 

 

 

 

 

x

 

 

6

 

 

 

 

10.

R

 

1

 

 

dx =

1

 

 

a+x + C; a = 0:

 

 

2

 

2

 

 

 

 

11.

 

pa2

x2

dx = arcsin a + C; a > 0:

 

 

 

 

x

 

 

2a

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

12.

 

p

 

dx = ln x +

 

x

+ a

+ C; a 6= 0:

R

x21+a2

 

 

 

2

2

13.

 

 

 

 

dx = ln

j

x + px

 

a

j

 

6

 

 

x

a

 

R

p

2

 

 

2

 

 

 

 

+ C; a = 0:

14. sh x dx = ch x + C:

15.

R

ch x dx = sh x + C:

16.

R

1

 

dx = ch x + C:

R

sh2 x

 

17.

1

 

 

dx = th x + C:

 

2

 

 

 

 

ch

x

Следующие свойства позволяют (во многих случаях) свести вычисление неопределённого интеграла к табличным интегралам:

RR

1.cf(x) dx = c f(x) dx; c = const;

R

R

R

2.

(f(x) + g(x)) dx =

f(x) dx + g(x) dx:

В приводимых ниже примерах предлагается вычислить неопределённые интегралы, представляя их с помощью подходящих преобразований подинтегральных функций в виде сумм табличных.

Пример. 1.1

R

tg2 x dx:

Решение.

Воспользуемся равенством 1+tg2 x = cos12 x; откуда tg2 x = cos12 x 1: Получаем

RR

tg2 x dx =

1

cos2 x 1

R

dx =

1

cos2 x

R

dx dx = tg x x + C:

5

Пример. 1.2

R

sin4 x4 + cos4 x4 dx

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем подинтегральную функцию следующим образом

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

x

x

1

x

 

sin4

 

+ cos4

 

 

= sin2

 

+ cos2

 

 

 

2 sin2

 

 

 

cos2

 

= 1

 

 

sin2

 

 

=

4

4

4

4

 

4

4

2

2

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

1

 

 

1 cos x

=

 

3

+

1

cos x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

sin4

 

4 + cos4

 

 

dx =

R

 

4 + 4 cos x dx =

 

 

 

 

 

R

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3

R

 

 

 

4

 

Пример. 1.3

dx +

1

R

 

 

 

4

 

R

cos x dx = 34x + 14 sin x + C:

dx

(3 + x2)(4 + x2)

Решение.

Подинтегральную функцию представим в виде

1

=

(4 + x2) (3 + x2)

=

 

1

 

 

1

:

(3 + x2)(4 + x2)

(3 + x2)(4 + x2)

(3 + x2)

(4 + x2)

 

 

 

Значит

R

dx

(3 + x2)(4 + x2) =

R

3 + x2

4 + x2 dx =

1

1

 

=

R

1

dx

 

 

3 + x2

R

1

1

x

 

1

x

 

 

dx = p

 

arctg p

 

 

 

 

arctg

 

 

+ C:

4 + x2

2

2

3

3

6

Пример. 1.4

R

Решение.

Разделим x2 + 3x + 5 на x + 2

x2 + 3x + 5 dx x + 2

x2 +3x+5 x + 2 x2 +2x x + 1 x +5

x +2

3

Таким образом

следовательно,

Получаем:

R

x2 + 3x + 5 = (x + 1)(x + 2) + 3;

x2 + 3x + 5

= x + 1 +

3

:

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

R

x + 2

 

x2 + 3x + 5

3

 

 

 

 

dx =

x + 1 +

 

 

dx =

x + 2

 

x + 2

R

R

R

= x dx +

 

dx + 3

dx = x + 2

=x2 + x + 3 ln jx + 2j + C: 2

Пример. 1.5

R

cos 3x + 3 cos x + 5 dx

 

 

 

1 + cos 2x

7

Решение.

Воспользовавшись формулами

cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x и 1 + cos 2x = 2 cos2 x;

находим:

R

cos 3x + 3 cos x + 5 dx = 1 + cos 2x

R

4 cos3 x 3 cos x + 3 cos x + 5 dx = 2 cos2 x

R

=

4 cos3 x + 5

dx =

2 cos2 x

R

 

5

 

2 cos x +

2 cos2 x

dx =

R

= 2

Пример. 1.6

cos x dx +

5

2

R

dx

 

5

 

= 2 sin x +

 

 

tg x + C:

cos2 x

2

R

Решение.

5 + sin x + 7 cos x + sin 2x 2 sin2 x dx 3 + sin x + cos x

Преобразуем числитель дроби под знаком интеграла, используя соотношения

sin 2x = 2 sin x cos x и sin2 x = 1 cos2 x;

5+sin x+7 cos x+sin 2x 2 sin2 x = 5+sin x+7 cos x+2 sin x cos x 2+cos2 x =

=3 + sin x + 7 cos x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x =

=3 + sin x + cos x + 6 cos x + 2 sin x cos x + 2 cos2 x =

=3 + sin x + cos x + 2 cos x(3 + sin x + cos x) = (3 + sin x + cos x) (1 + 2 cos x)

Тогда

R

5 + sin x + 7 cos x + sin 2x 2 sin2 x dx = 3 + sin x + cos x

8

R

=

(3 + sin x + cos x) (1 + 2 cos x) dx = 3 + sin x + cos x

R

R

R

= (1 + 2 cos x) dx =

 

dx + 2 cos x dx = x + 2 sin x + C:

Пример. 1.7

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 + 6p2 sin

x + 4

 

+ sin 2x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем выражение под знаком корня следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 + 6p2 sin x +

 

 

+ sin 2x = 9 + 6p2 sin x +

 

 

+ 1 + sin 2x =

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 9 + 6p2 sin x +

 

+ 12

+ sin 2x =

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

= 9 + 6(sin x + cos x) + (sin x + cos x)

= (3 + sin x + cos x) :

(мы использовали здесь соотношения sin x + cos x = p

 

sin

 

 

 

 

2

x +

; sin 2x =

2 sin x cos x и sin2 x + cos2 x = 1). Отсюда получаем

 

4

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(3 + sin x + cos x)2 dx =

 

10 + 6p2 sin x + 4

 

+ sin 2x dx =

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

=

(3+sin x+cos x) dx = 3

 

 

dx+

sin x dx+ cos x dx = 3x cos x+sin x+C:

Пример. 1.8

R

pp

x2 + 2 x2 1 p dx

x2 1

9

Решение.

Заметим, что

 

x

2

+ 2p

 

 

 

 

2

1 + 2p

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

1 = x

x

 

1 + 1 =

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

+ 1 =

 

 

 

 

 

+ 1

:

 

x2

1

x2

1

 

 

x2

1

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

С учётом этого находим:

R

p

 

p

 

 

x2

+ 2 x2 1 dx =

 

 

 

 

 

p

x2 1

p

R x2 1 + 1

= p dx = x2 1

R

R

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

1 + 1

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 + px2 1

dx =

RR

=dx +

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

= x + ln

x + px2

1

+ C:

px2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить следующие интегралы:

1.

R

2.

R

5x9 + 4x3 + 2 dx

3x2 + 6x + 8 dx

3.

x2

+ 2 2

dx

 

R

 

 

4.

x2

x + 1 2

dx

 

R

 

 

R

5.x3 x

3 dx

R

6.

(2x 3)3 dx

R

x3 + 3x dx

R

7. (x 2)

8. (x 1) (2x + 3) (x + 1) dx

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]