Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

Геометрия

28. Шар, сфера

Обозначения (ðèñ. 353):

R — радиус шара, сферы; V — объем шара.

S — площадь сферы.

Объем шара:

V = 43 pR3.

Площадь сферы:

S = 4pR2.

Ðèñ. 353

605

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

29. Шаровой сегмент

Обозначения (рис. 354): R — радиус шара, сферы;

h = FM — высота шарового сегмента AFB; Vñåãì— объем шарового сегмента;

Sñåãì — площадь поверхности сферического сегмента.

Объем шарового сегмента:

Vñåãì = 13 ph2(3R - h).

Площадь поверхности сферического сегмента:

Sñåãì = 2pRh.

Ðèñ. 354

606

Геометрия

30. Шаровой сектор и шаровой слой

Обозначения (ðèñ. 355):

R — радиус шара, сферы;

h = FM — высота соответствующего сегмента; a — угол между осью и образующей конуса;

H = MN — высота шарового слоя;

Vñåêò— объем шарового сектора ÎÀÂ;

Sñëîÿ — площадь поверхности шарового слоя, заключенного между плоскостями AMB è DNC.

Объем шарового сектора:

Vñåêò = 23 pR2h;

Vñåêò = 34 pR3 sin2 a2 .

Площадь поверхности шарового слоя:

Sñëîÿ = 2pRH.

Ðèñ. 355

607

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

e » 2,71828 — основание натуральных логарифмов

p » 3,14159 — отношение длины окружности к диаметру

a = b — à равно b

a ¹ b — à не равно b

a » b — à приближенно равно b a < b — à меньше b

a > b — à больше b

a £ b — à меньше или равно b a ³ b — à больше или равно b

a Î A — à принадлежит множеству À

a Ï A — à не принадлежит множеству À B Ì A — Â является подмножеством À A U B — объединение множеств À è Â

A I B – пересечение множеств À è Â Æ — пустое множество

N —множество натуральных чисел Z — множество целых чисел

Q — множество рациональных чисел

I — множество иррациональных чисел

R — множество действительных чисел, числовая прямая

C — множество комплексных чисел

D (a, b) — наибольший общий делитель чисел à

è b

K (a, b) — наименьшее общее кратное чисел à è b

nMa — натуральное число n делится на натуральное число à без остатка

% — процент

608

Основные обозначения

Ì(õ) — точка Ì на координатной прямой имеет координату õ

Ì(õ; ó) — точка Ì в прямоугольной декартовой

системе координат на плоскости имеет абсциссу õ и ординату ó

Ì (õ; ó; z) — точка Ì в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве имеет абсциссу õ, ординату ó и аппликату z

M(r;j) — точка Ì в полярной системе координат имеет полярный радиус r и полярный угол j

[a,b] — отрезок (a,b) — интервал

[a,b), (b,a] — полуинтервалы

[a, + ¥), (-¥, b] — ëó÷è

(a,+ ¥), (-¥, - b) — открытые лучи (-¥, + ¥) — числовая прямая

a — модуль (абсолютная величина) действитель-

ного числа à

[a] — целая часть числа à {a} — дробная часть числа à

an — n-я степень числа à

n a — корень n-й степени из числа à

z = (a;b) = a + bi — алгебраическая форма комп-

лексного числа z

i, ãäå i2 = –1, — мнимая единица

Rez — действительная часть комплекского числа z

Im z — мнимая часть комплексного числа z z = r — модуль комплексного числа z

609

Основные обозначения

arg z = j, где -p < j £ p, — главное значение аргумента комплексного числа z

— число, сопряженное с комплексным

числом z

loga x, ãäå a < 0, a ¹ 1, — логарифм положительного числа õ по основанию à

lg x — десятичный логарифм числа õ ln x — натуральный логарифм числа õ

sin x — синус õ cos x — косинус õ

tg x — тангенс õ ctg x — котангенс õ

arcsin x — арксинус õ arccos x — арккосинус õ

arctg x — арктангенс õ arcctg x — арккотангенс õ

ìf1(x) = g1(x),

í — система уравнений

îf2(x) = g2(x)

éf1(x) = g1(x),

ê — совокупность уравнений

ëf2 (x) = g2(x)

a11 a12 — определитель второго порядка

a21 a22

a11 a12 a13

a21 a22 a23 — определитель третьего порядка

a31 a32 a33

610

Основные обозначения

n! — факториал, произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n

ментов второго типа, ..., kn элементов n-ãî òèïà

(k1 + k2 + ... + kn = n)

Cnk, ãäå k £ n, — сочетания без повторений из n элементов по k элементов

C~nk — сочетания с повторениями из n элементов по k элементов

(an) = a1,a2,...,an,... — последовательность

×× a1,a2,...,an,... — арифметическая прогрессия

×× ×× b1,b2,...,bn,... — геометрическая прогрессия

lim f (x) = b, f (x) ® b ïðè x ® a — предел фун-

x®a

êöèè f (x) равен b, åñëè õ стремится к à

Dx, Dy — приращение аргумента, приращение функции

611

Основные обозначения

y¢, f¢(x) — значение производной функции y = f (x) в точке õ

зз — знак параллельности, например à çç b, à çç =, a çç >

^ — знак перпендикулярности, например a^b, a^a, a^b

Ð — знак угла, например Р ABC, Ð(a, b) È — знак дуги, например ИAB, È PnQ

°,¢,¢¢ — градус, минута, секунда, например 57°15¢40¢¢

D ABC — треугольник ÀÂÑ

~ — знак подобия, например D ABC ~ D A1B1C1

612

Основные обозначения

a = {X; Y; Z} — координаты вектора a равны

X; Y; Z

(a,b) — угол между векторами a è b

a × b, (a, b) — скалярное произведение векторов

a è b

a ´ b, [a, b] — векторное произведение векторов

a è b

abc, (a, b, c) — смешанное произведение векто-

ðîâ a, b è c

613

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

À

Абсолютная величина числа 42 Абсцисса 34, 35 Алгебраическое дополнение 239, 240 Амплитуда колебания 180

Апофема правильного многоугольника 448

—правильной пирамиды 509

—— — усеченной 513 Аппликата 35 Аргумент 120

—вспомогательный 218

—комплексного числа 62 Арккосинус 163, 166 Арккотангенс 165, 166 Арксинус 162, 165 Арктангенс 164, 166 Асимптота вертикальная 301

—горизонтальная 296

614