Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

Геометрия

говой перестановке сомножителей и меняет знак при перестановке двух сомножителей.

20. (a + b) c d = a c d + b c d (распределительный закон).

30. (l a) b c = l (a b c) (сочетательный закон относительно скалярного множителя).

20. Призма и произвольный параллелепипед

Обозначения:

l — боковое ребро; h — высота;

P — периметр основания;

S — площадь основания;

Ðñå÷ — периметр перпендикулярного сечения

A0B0C0D0;

Sñå÷ — площадь перпендикулярного сечения

A0B0C0D0;

Sáîê — площадь боковой поверхности; V — объем.

Объем произвольной призмы (рис. 342):

V = Sh; V = Sñå÷l.

Боковая поверхность произвольной призмы (рис. 342):

Sáîê= Pñå÷l.

595

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Ðèñ. 342

Боковая поверхность прямой призмы (рис. 343):

Sáîê = Ph.

Те же формулы справедливы и для произвольного параллелепипеда.

Ðèñ. 343

596

Геометрия

Объем параллелепипеда, построенного на векто-

ðàõ a, b, c (рис. 344), равен абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.

Ðèñ. 344

21. Прямоугольный параллелепипед

Обозначения (ðèñ. 345):

a, b,c — измерения параллелепипеда; d — его диагональ;

Объем:

V = abc.

597

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Ðèñ. 345

Площадь боковой поверхности:

Sáîê = Ph.

Связь между диагональю параллелепипеда и его измерениями:

d2 = a2 + b2 + c2.

22. Êóá (à — ребро)

Объем:

V = a3.

Связь между ребром и диагональю:

d = a 3.

598

Геометрия

Ðèñ. 346

23. Пирамида

Объем произвольной пирамиды (рис. 346):

V = 13 Sh,

ãäå S — площадь основания, h — высота пирамиды. Объем пирамиды, построенной на векторах

a, b, c (рис. 346), равен одной шестой абсолют-

ной величины смешанного произведения этих векторов.

Боковая поверхность правильной пирамиды (рис. 347):

Sáîê = Pm,

ãäå Ð — периметр основания, m — апофема пирамиды.

599

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Ðèñ. 347

Если все боковые грани пирамиды или призмы образуют со сторонами основания равные двугран-

íûå óãëû j (ðèñ. 347), òî

ãäå h — высота пирамиды, S1 è S2 — площади оснований.

600

Геометрия

Ðèñ. 348

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды (рис. 349):

Sáîê = 0,5 (P1 + P2) m,

ãäå m — апофема, P1 è P2 — периметры оснований.

Ðèñ. 349

601

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

25. Цилиндр

Обозначения (ðèñ. 350):

R — радиус основания; h — высота;

Sáîê — площадь боковой поверхности; V — объем.

Объем:

V = pR2h.

Боковая поверхность:

Sáîê = 2pRh.

Ðèñ. 350

602

Геометрия

26. Конус

Обозначения (ðèñ. 351):

R — радиус основания; h — высота;

l — образующая;

Sáîê — площадь боковой поверхности; V — объем.

Объем:

V = 13 pR2h. Боковая поверхность:

Sáîê = pRl.

Ðèñ. 351

603

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

27. Усеченный конус

Обозначения (ðèñ. 352):

R1 è R2 — радиусы оснований; h — высота;

l — образующая;

Sáîê — площадь боковой поверхности; V — объем.

Объем:

V = 13 ph (R12 + R22 + R1R2).

Боковая поверхность:

Sáîê = p (R1 + R2)l.

Ðèñ. 352

604