Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

Геометрия

Формула площади сегмента:

Sñåãì = 12 R2 (a - sin a)

(эта же формула справедлива и для сегмента ANB, дополняющего сегмент ÀÌÂ, заштрихованный на рис. 338, до полного круга).

Ðèñ. 338

17.Прямоугольная декартова и полярная системы координат на плоскости

Расстояние между двумя точками M1(x1; y1) è

M2 (x2; y2) :

M1M2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 .

585

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Координаты середины отрезка с концами M1 (x1; y1) è M2 (x2; y2)::

x = 0,5 (x1 + x2), y = 0,5 (y1 + y2). Уравнение прямой в общем виде:

Ax + By + C = 0,

ãäå n = {A; B} — вектор нормали к прямой.

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k:

y = kx + b.

Уравнение прямой, проходящей через данную точ- ку M (x0; y0) и имеющей заданный угловой коэффициент k:

y - y0 = k(x - x0).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1 (x1; y1) è M2 (x2; y2)::

y - y1 = x - x1 . y2 - y1 x2 - x1

Уравнение окружности с центром Î (0; 0) и радиусом R:

x2 + y2 = R2.

586

Геометрия

Уравнение окружности с центром Ñ (à; b) и радиусом R:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2.

Нахождение декартовых координат точки M (x; y) по ее известным полярным координатам r,j (ðèñ. 339):

x = r cosj, y = r sinj.

Ðèñ. 339

Нахождение полярных координат точки M (r; j) по ее известным декартовым координатам õ, ó (ðèñ. 339):

587

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

18. Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Расстояние между двумя точками M1 (x1; y1; z1) è M2 (x2; y2; z2):

Координаты середины отрезка с концами

M1 (x1; y1; z1) è M2 (x2; y2; z2) :

x = 0,5 (x1 + x2 + x3), y = 0,5 (y1 + y2 + y3),

z = 0,5 (z1 + z2 + z3). Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0,

ãäå n = {A; B; C} — вектор нормали к плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через заданную

точку M (x0; y0; z0) и перпендикулярной вектору n = {A; B; C} :

A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0).= 0. Уравнение плоскости, проходящей через три

заданные точки M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) è

M3 (x3; y3; z3)::

588

Геометрия

x - x1 y - y1 z - z1

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0. x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

Уравнение сферы с центром C (a; b; c) и радиусом R:

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2.

19. Векторы и операции над ними

Координаты вектора с началом A (x1; y1; z1) и концом B (x2; y2; z2) :

AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1}.

Длина вектора a {X; Y; Z} :

b {X2; Y2; Z2} :

X1 = X2; Y1 = Y2; Z1 = Z2.

Сумма векторов a {X1; Y1; Z1} è b {X2; Y2; Z2} : a + b = {X1 + X2; Y1 + Y2; Z1 + Z2}.

589

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

В параллелограмме ABCD, построенном на векторах a è b (рис. 340), диагональ AC, выходящая из их общего начала, равна сумме a + b, а диагональ

DB равна разности a - b.

Ðèñ. 340

Свойства операции сложения векторов:

10. a + b = b + a (переместительный закон).

20. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон). Произведение вектора a{X; Y; Z} на число l :

la{X; Y; Z} = db{lX; lY; lZ}.

Свойства операции умножения вектора на чис-

ëî:

10. (lm) a = l (ma) (сочетательный закон).

20. (l + m) a = l a + ma (распределительный закон по отношению к числовому множителю).

590

Геометрия

30. l ( a + b) = l a + l b (распределительный закон по отношению к векторному множителю).

Признак коллинеарности векторов a{X1; Y1; Z1}

è b {X2; Y2; Z2} :

X1 = Y1 = Z1 .

X2 Y2 Z2

Признак компланарности векторов a{X1; Y1; Z1} ,

b {X2; Y2; Z2} è c {X3; Y3; Z3}::

X1 TY11 Z1

a b c = X2 Y2Z22 = 0.

xX yY Zz

33 33 33

Разложение вектора d по трем некомпланарным

векторам a, b è c :

d = aa + bb + gc.

Определение скалярного произведения векторов

a{X1; Y1; Z1} è b {X2; Y2; Z2}::

a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1 Z2.

591

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Формула для вычисления скалярного произведе-

ния векторов a è b :

a b = ab cos (a, b).

Формула для вычисления косинуса угла между

векторами a è b :

cos (a, b) = a b . ab

Свойства скалярного произведения ( a, b, c — любые векторы, l — любое число):

10. a a ³ 0, причем a2 > 0, åñëè a ¹ 0.

20. a b = b a (переместительный закон).

30. (a + b) c = a c + b c (распределительный закон). 40. (l a) b = l (a b ) (сочетательный закон). Условие перпендикулярности векторов

a{X1; Y1; Z1} è b {X2; Y2; Z2} :

a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1 Z2 = 0.

Определение векторного произведения векторов

на площади параллелограмма, построенного на векторах a è b );

592

Геометрия

2)направление вектора c перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы a è b ;

3)поворот от a ê b на наименьший угол виден

из конца вектора c происходящим против часовой стрелки (рис. 341).

Ðèñ. 341

Формула для вычисления векторного произведе-

ния векторов a {X1; Y1; Z1} è b {X2; Y2; Z2}:

Векторные произведения ортов координатных осей:

i ´ j = k, j ´ k = i, k ´ i = j;

i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0.

593

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Свойства векторного произведения ( a,b, c — любые векторы, l — любое число):

10. a ´ b = -b ´ a, т. е. при перемене мест сомножителей векторное произведение меняет знак.

20. (a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c (распределительный закон).

30. (l a) ´ b = l (a ´ b) (сочетательный закон).

Определение смешанного произведения векторов

a,b, c :

a b c = a (b ´ c) = (a ´ b ) c.

Формула для вычисления смешанного произве-

дения векторов a{X1; Y1; Z1}, b {X2; Y2; Z2} è c {X3; Y3; Z3} :

X1 Y1 Z1 a b c = X2 Y2 Z2 .

X3 Y3 Z3

Свойства смешанного произведения ( a,b, c, d — любые векторы, l — любое число):

10. abc = bc a = c ab = -(bac) = -(cba) = -(a cb),

т. е. смешанное произведение не меняется при кру-

594