Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

Геометрия

Ðèñ. 328

Средняя линия параллельна основаниям и равна ее полусумме:

MN +AD, MN +BC, l = 0,5 (a + b). Формулы для площади:

1)S = 0,5 (a + b) h.

2)S = lh.

3)S = 0,5 d1d2 sin j.

12. Равнобочная трапеция

Диагонали равнобочной трапеции равны: AC = BD = d (ðèñ. 329).

Ðèñ. 329

575

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Около любой равнобочной трапеции можно описать окружность (рис. 330). Эта окружность совпадает с окружностью, описанной около любого треугольника, вершины которого совпадают с вершинами трапеции.

Ðèñ. 330

В равнобочную трапецию можно вписать окружность только при условии, что боковая сторона трапеции равна полусумме ее оснований (рис. 331):

m = 0,5 (a + b).

Высота такой трапеции равна диаметру вписанной окружности:

h = 2r.

13.Произвольный выпуклый n-угольник

Сумма внутренних углов равна 180° (n – 2). Сумма внешних углов равна 360°.

576

Геометрия

Ðèñ. 331

Площадь выпуклого n-угольника, в который можно вписать окружность:

S = pr,

ãäå ð — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

14. Правильный n-угольник

Обозначения (ðèñ. 332):

an — сторона вписанного n-угольника;

Rn — его радиус (т. е. радиус описанной окружности);

rn — апофема (т. е. радиус вписанной окружности);

577

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Ðèñ. 332

Pn — периметр;

Sn — площадь.

Выражения an è rn через Rn :

В частности, для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R:

a3 = R 3, r3 = 0,5R; для квадрата:

a4 = R 2, r4 = 0,5R 2; для правильного шестиугольника:

a6 = R, r6 = 0,5R 3.

578

Геометрия

n

В частности, для радиуса R окружности, описанной около правильного треугольника, квадрата, правильного шестиугольника:

R = a33 3 , R = a42 2 , R = a6;

для радиусов окружностей, вписанных в правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (апофем этих фигур):

Выражения Pn è Sn через Rn:

Pn = nan = 2nRn sin 180° ; n

579

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Выражение bn (стороны правильного описанного n-угольника) через an è R :

Выражение a2n (стороны правильного вписанного 2n-угольника) через an è R (формула удвоения):

15. Углы и пропорциональные отрезки в круге

Центральный угол ÀÎÂ измеряется дугой ÀÂ, на которую он опирается (рис. 333).

Вписанный угол ÀÌÂ измеряется половиной дуги ÀÂ, на которую он опирается (рис. 333).

580

Геометрия

Ðèñ. 333

Óãîë KÌÀ между касательной и хордой измеряется половиной дуги AnM, лежащей внутри данного угла (рис. 334).

Óãîë ÀÌÑ, образованный двумя хордами ÀÂ è CD, пересекающимся в точке Ì внутри круга, измеряется

Ðèñ. 334

581

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

полусуммой дуг ÀÑ è DB, лежащих внутри данного угла и вертикального с ним (рис. 335).

Ðèñ. 335

Ðèñ. 336

582

Геометрия

Óãîë ÀÌÂ, образованный двумя секущими ÌÀ è ÌÂ, проведенными из точки Ì вне круга, измеряется полуразностью дуг ÀÂ è CD, лежащих внутри данного угла (рис. 336).

Если две хорды ÀÂ è CD пересекаются в точке Ì (рис. 335), то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

AM × MB = CM × MD.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть (рис. 337):

MC × MB = MK2.

Ðèñ. 337

583

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

16. Длина окружности. Площадь круга и его частей

Обозначения (ðèñ. 338):

R — радиус окружности, круга; D — диаметр;

C — длина окружности;

l — длина дуги ÀÌÂ окружности;

a°,a — центральный угол в градусной, радианной мере;

S — площадь круга;

S — площадь сектора ÀÎÂ;

ñåêò

Sñåãì — площадь сегмента ÀÌÂ;

Формулы длины окружности:

C = 2pR; C = pD.

Формулы длины дуги окружности:

584