Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

Алгебра

Дифференцирование сложной функции y =

= f (g (x)) :

y¢ = f¢ (g(x)) g¢(x).

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке õ = à:

y = f (a) + f¢(a) (x - a).

555

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Формула Лагранжа:

f¢ (c) = f (b) - f (a) . b - a

Формула для приближенного вычисления значе- ния функции f (x) в точке õ:

f (x) » f (x0) + f¢(x0) (x - x0).

28. Первообразная и интеграл

Определение первообразной: функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке Õ, åñëè F¢ (x) = f (x) для любого x Î X.

Таблица первообразных:

556

Алгебра

Правила вычисления первообразных:

Åñëè F (x) — первообразная для f (x) , à H (x) — первообразная для h (x), òî F (x) + H (x) — первообразная для f (x) + h (x).

Åñëè F (x) — первообразная для f (x), à k — постоянная, то kF (x) — первообразная для kf (x).

557

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Правила вычисления интегралов:

ò (f1 (x) + f2(x)) dx = ò f1(x) dx + ò f2(x) dx.;

bb

ò kf (x) dx =kò f (x) dx, ãäå k — постоянная.

aa

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной прямыми õ = à, x = b (a < b) и графиками непрерывных на [a, b] функций y = f1(x), y = = f2 (x), ãäå f2(x) £ f1(x) íà [a, b]:

b

S = ò (f1(x) - f2(x)) dx.

a

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной прямыми ó = = 0, õ = à, õ = b (a < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции y = f (x) :

b

S = ò f (x) dx.

a

Формула для вычисления объема тела, расположенного между двумя плоскостями, удаленными от данной плоскости на расстояния à è b (a < b) и такого, что в пересечении этого тела плоскостью, параллельной данной и удаленной от нее на рас-

558

Алгебра

стояние x (a < x < b), образуется сечение, площадь которого выражается непрерывной на [a, b] ôóíê-

öèåé S (x):

b

V = ò S (x) dx.

a

Формула для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной

трапеции, ограниченной прямыми ó = 0, õ = à, õ = = b (a < b) и графиком непрерывной на [a, b] функции y = f (x) :

b

V = pò y2dx.

a

559

ГЕОМЕТРИЯ

1. Произвольный треугольник

Обозначения:

a,b,c — стороны;

A, B,C — углы, противолежащие сторонам a,b,c ;

la,lb,lc — биссектрисы; ma,mb,mc — медианы;

ha,hb,hc — высоты;

r — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности; p = 0,5 (a + b + c) — полупериметр; S — площадь.

Сумма углов треугольника:

A + B + C = 180°.

Ðèñ. 311

560

Геометрия

Внешний угол треугольника (рис. 311) равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных:

ÐCBM = ÐA + ÐC.

Неравенство треугольника:

a < b + c, b < a + c, c < a + b.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в треугольник (рис. 312).

Ðèñ. 312

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (рис. 312):

a = a1 .

bb1

Длина биссектрисы:

561

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Медианы треугольника пересекаются в одной точ- ке — центре масс треугольника (рис. 313). Эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины:

AM = BM = CM = 2 : 1. MA1 MB1 MC1

Ðèñ. 313

Длина медианы:

mc = 0,5 2 (a2 + b2) - c2 .

Высоты треугольника пересекаются в одной точ- ке — ортоцентре треугольника (рис. 314).

Длина высоты:

hc = 2 p (p - a) (p - b) ( p - c).. c

562

Геометрия

Ðèñ. 314

Связь между сторонами и высотами:

ha : hb : hc = 1 : 1 : 1 . a b c

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной около треугольника (рис. 315).

Теорема косинусов:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C. Теорема синусов:

Формулы для площади: 1) S = 0,5aha.

563

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Ðèñ. 315

2) S = 0,5bc sin A.

3) S = p ( p - a) (p - b) (p - c) (формула Герона). 4) S = pr.

5) S = abc .

4R

6) Åñëè A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) — вершины треугольника, то

564