Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

АЛГЕБРА

1. Основные законы алгебры

Для любых действительных чисел à, b, ñ справедливы равенства:

a + b = b + a (переместительный закон сложения). (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сло-

жения).

a + 0 = à.

a + (-a) = 0.

ab = ba (переместительный закон умножения). (ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).

a (b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

a × 1 = a.

a × 1 = 1, ãäå a ¹ 0. a

2. Числовые неравенства

Для любых действительных чисел à, b, c, d справедливы свойства:

Åñëè a > b, òî b < a.

Åñëè a > b è b > c, òî a > c (свойство транзитивности).

Åñëè a > b, òî a + c > b + c.

535

Åñëè a > b > 0, òî 1 < 1 .

ab

Åñëè a > b > 0 è n Î N, òî an > bn.

3. Модуль действительного числа

Определение модуля:

ì a, åñëè a ³ 0, a = í

î- a, åñëè a < 0.

Для любых действительных чисел à, b справедливы свойства:

a³ 0.

a= - a.

ab = ab.

a 2 = a2.

536

Алгебра

Для любых действительных чисел a ³ 0 è b ³ 0 справедливы свойства:

n ab = n a n b.

n k a = nk a .

nm akm = n ak .

a2 = a.

5. Обобщение понятия степени

Определение степени с натуральным показателем:

an = a × a... .a, ,aa11==aa..

" "!

n множителей

537

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Определение степени с положительным дробным показателем:

p

a q = q a p , ãäå a ³ 0.

Определение степени с нулевым показателем:

a0 = 1, ãäå a ¹ 0.

Определение степени с отрицательным рациональным показателем:

1

a-r = ar , ãäå a > 0.

Определение степени с иррациональным показателем:

à) åñëè à = 1 è a Î I, òî 1a =Î 1;

á) åñëè à > 1 è a Î I, òî ïîä aa понимают число,

заключенное между ar1 è ar2 для любых рациональных чисел r1 è r2 таких, что r1 < a, a r2 > a;

â) åñëè 0 < a < 1 è a Î I, òî ïîä aa понимают число, заключенное между ar2 è ar1 для любых ра-

538

Алгебра

Стандартный вид положительного действительного числа:

à = à1 × 10n, ãäå 1 £ à1 < 10, n Î Z.

6. Комплексные числа

Алгебраическая форма комплексного числа:

z = (a; b) = a + bi,

ãäå Re z = a — действительная часть, Im z = b — мнимая часть комплексного числа z.

Условие равенства двух комплексных чисел:

= ìa = b,

(a;b) (c; d), åñëè í

îc = d. Модуль комплексного числа z = a + bi :

z = r = a2 + b2 .

Степени мнимой единицы:

i4n+1 = i, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i,i4n = i,n Î N.

Тригонометрическая форма комплексного числа: z = r (cos j + i sin j),

ãäå r — модуль, а j — главное значение аргумента

(-p < j £ p), причем

539

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Умножение и деление комплексных чисел z1 = = r1 (cos j1 + i sin j1) è z2 = r2 (cos j2 + i sin j2):

z1z2 = r1r2(cos(j1 + j2) + i sin(j1 + j2)),

z1 = r1 (cos(j1 - j2) + i sin(j1 - j2)). z2 r2

Возведение комплексного числа z = r (cos j + + i sin j) в степень n:

zn = rn (cos nj + i sinnj); n Î N.

Формула Муавра:

(cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj, n Î N.

ãäå k = 0, 1, 2, ..., n –1.

7. Формулы сокращенного умножения

(a + b) (a - b) = a2 - b2 (разность квадратов);

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (квадрат суммы);

540

Алгебра

(a –+ b)2 = a2 - 2ab + b2 (квадрат разности); (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (куб суммы); (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (куб разности); a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) (сумма кубов);

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) (разность кубов).

8. Квадратное уравнение

Формула корней неприведенного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 :

Формула корней неприведенного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в случае, когда b — четное число:

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 :

x1 + x2 = - p, x1x2 = q.

541

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

9. Многочлены

Выделение полного квадрата из квадратного трех-

Разложение квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2),

ãäå x1, x2 — корни трехчлена.

Теорема о делении многочленов с остатком: для

одна и только одна пара многочленов S (x) è R (x) так, что справедливо тождество

P (x) = Q (x) S (x) + R (x),

причем степень остатка R (x) меньше степени Q (x) .

Теорема Безу: остаток от деления многочлена P (x) на двучлен x - a равен значению многочлена

ïðè x = a, ò. å. R = P (a).

Схема Горнера: при делении многочлена

Pn (x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an

на двучлен x - a коэффициенты частного и остатка располагают в следующей таблице:

542

Алгебра

10. Определители и системы двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными

Определитель второго порядка:

a11 a12 = a11a22 - a21a12. a21 a22

Определитель третьего порядка:

Разложение определителя по элементам какойлибо строки или столбца; например,

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11A11 + a12 A12 + a13 A13 a31 a32 a33

— разложение по элементам первой строки, где

— алгебраические дополнения элементов

a11, a12, a13.

543

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

ìía11x + a12y = b1, îa1221x + a22y = b2

при условии, что ее определитель

D = a11 a12 ¹ 0,

a21 a22

имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

x = DDx , y = DDy ,

при условии, что ее определитель

a11 a12 a13

D = a21 a22 a23 ¹ 0, a31 a32 a33

544