Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 40. Тела вращения

Если расстояние секущей плоскости от центра

шара равно d, то радиус сечения r = R2 - d2 . Плоскость, проходящая через центр шара, назы-

вается его диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

Любая диаметральная плоскость является плоскостью симметрии шара. Центр шара — его центр симметрии.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (MABCD на рис. 306). Если расстояние секущей плоскости от центра шара равно d, то разность R – d = h называется высотой сегмента (MN íà ðèñ. 306).

Шаровым слоем называется часть шара, заклю- ченная между двумя параллельными секущими

плоскостями (на рис. 306 изображен шаровой слой ÀÀ1Ñ1Ñ, заключенный между плоскостями ÀÂCD è A1B1C1D1). Расстояние между секущими плоскостями называется высотой шарового слоя (NN1 íà ðèñ. 306).

Рассмотрим конус с вершиной в центре шара. Часть шара, лежащая внутри этого конуса, называется шаровым сектором; на рис. 306 изображен шаровой сектор ÎÀÌÑ, состоящий из конуса OABCD и шарового сегмента MABCD. (Шаровым сектором называется также и часть шара, лежащая вне этого конуса, т. е. дополняющая указанный выше сектор до полного шара).

Объем шара радиуса R находится по формуле

527

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Объем шарового сегмента находится по формуле

ãäå R — радиус шара, h — высота сегмента. Объем шарового сектора находится по формуле

ãäå R — радиус шара, h — высота соответствующего сегмента (здесь шаровой сектор рассматривается как тело, состоящее из конуса и шарового сегмента).

Если a — угол между осью и образующей конуса, то формула (3) примет вид

Площадь сферы радиуса R находится по формуле

528

ГЕОМЕТРИЯ

§ 40. Тела вращения

Площадь поверхности сферического сегмента находится по формуле

где R — радиус сферы, h — высота сегмента. Площадь поверхности шарового слоя находится

по формуле

где R — радиус сферы, H — высота cлоя, т. е. эта площадь зависит только от высоты слоя, а не от его положения на сфере.

П р и м е р 1. Шар пересечен плоскостью, перпендикулярной его радиусу и отстоящей от его цен-

тра на 9 см. Площадь сечения равна 144p ñì2. Найти объем шара и площадь сферы.

q Пусть ÎÂ = õ — радиус сферы (рис. 307). В

D OAB имеем AB2 = OB2 - OA2 = x2 - 81. Ïî óñëî-

âèþ, p (x2 - 81) = 144p, откуда õ = 15 (см). Теперь, используя формулы (1) и (5), находим

V = 4 p × 153 = 4500pp (ñì3), S = 4p · 152 = 900p (ñì2). n

3

П р и м е р 2. Используя условие примера 1,

найти: а) объем шарового сектора OBFC (см. рис. 307); б) объем шарового сегмента ÂFC и площадь сферической поверхности этого сегмента; в) площадь поверхности шарового слоя, заключенного между плоскостью данного сечения и параллельной ей плоскостью, проходящей через центр шара.

529

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

q а) Объем шарового сектора OÂFC вычислим по

формуле (3): Vñåêò = 12 pR2h, ãäå R = 15 ñì, h = AF =

3

= OF – OA = 15 – 9 = 6 (см). Значит,

Sñåãì = 2p × 15 × 6 = 180p (ñì2). n

в) Согласно формуле (7), где R = 15 ñì, H = 9 см, находим

Sñëîÿ = 2p × 15 × 9 = 270p (ñì2). n

Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.

Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех граней многогранника.

530

ГЕОМЕТРИЯ

§40. Тела вращения

Ïр и м е р 3. Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны основания, описан шар. Найти отношение объема шара к объему призмы.

q Пусть ÀÂ = à, ÎÀ = R (рис. 308). Тогда Vøàðà =

окружности, описанной около правильного треуголь-

П р и м е р 4. Найти поверхность шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром à.

q Проведем плоскость через высоту пирамиды FO и апофему FD (рис. 309); радиус круга в полу- ченном сечении равен радиусу шара. Так как все

ребра пирамиды равны à, òî FD = a 3 , OD = a 3 ,

531

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

315. Цилиндр, конус и шар как тела вращения.

Цилиндр, конус и шар можно получить с помощью вращения плоских фигур вокруг соответствующих осей (цилиндр — вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон; конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его кате-

532

ГЕОМЕТРИЯ

§ 40. Тела вращения

тов; шар — вращением полукруга вокруг его диаметра). Поэтому цилиндр, конус и шар называют

телами вращения.

Как известно (см. п. 245), объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограни- ченной сверху графиком непрерывной на отрезке [a, b] функции y = f (x), снизу осью Îõ, а сбоку двумя прямыми õ = à è x = b (a < b), выражается формулой

a

П р и м е р. Доказать справедливость формулы

(2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî Vñåãì = 1 ph2(3R - h), ãäå R — 3

радиус шара, а h — высота сегмента.

Ðèñ. 310

533

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

q Будем рассматривать шаровой сегмент как тело, полученное вращением вокруг оси Îõ заштрихованной на рис. 310 криволинейной трапеции. Последняя ограничена сверху дугой окружности, уравнение которой имеет вид õ2 + ó2 = R2 (см. п. 284), а пределы интегрирования равны R – h è R. Согласно формуле (1), находим

534