Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

все его образующие (т. е. отрезки образующих цилиндрической поверхности, заключенные между ее основаниями).

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основанию. Если направляющей является окружность, то цилиндр называется круговым (ðèñ. 297).

В дальнейшем мы будем рассматривать только круговой цилиндр. Радиус основания цилиндра называется радиусом цилиндра, образующая цилиндра одновременно является его высотой. Отрезок, соединяющий центры оснований, называется îñüþ цилиндра (Î1Î на рис. 297). Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым (ÀÀ1Â1Â на рис. 297). Плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, ò. å.

517

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту, т. е.

П р и м е р 1. Отрезок, соединяющий две диаметрально противоположные точки À è Â1 нижнего

и верхнего оснований цилиндра (рис. 298), равен 12 см и составляет с плоскостью нижнего основания угол 30°. Найти боковую поверхность и объем цилиндра.

q Проведем через отрезок ÀÂ1 сечение плоскостью, перпендикулярной основанию цилиндра. В D ABB1

имеем AB = 2R = 12cos30° = 6 3 (ñì), BB1 = h =

=12sin30° = 6 (см). Теперь, используя формулы (2)

è(1), находим

S = 2pRh = 2p ×36 3 × 6 = 3672p 3 (ñì2),

V = pR2h = p × (3 3)2 × 6 = 162p (ñì3). n

Призмой, вписанной в цилиндр, называется призма, основания которой — многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Ее боковые ребра совпадают с образующими цилиндра.

Призмой, описанной около цилиндра, называется такая призма, основания которой — многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее боковых граней являются касательными плоскостями цилиндра.

П р и м е р 2. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около цилиндра радиуса R,

518

ГЕОМЕТРИЯ

§ 40. Тела вращения

в 4 раза больше объема прямоугольного параллелепипеда, вписанного в этот цилиндр. Найти стороны основания вписанного параллелепипеда.

q На рис. 299 изображено плоское сечение заданной конфигурации. Основанием описанного параллелепипеда служит квадрат со стороной 2R, объем

этого параллелепипеда V1 = 4R2h, ãäå h — высота

цилиндра. Пусть основание вписанного параллелепипеда — прямоугольник со сторонами à è b; тогда

519

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Èòàê, a = 0,5R ( 6 + 2), b = 0,5R ( 6 - 2). n

313. Конус, усеченный конус. Рассмотрим ка- êóþ-ëèáî плоскую линию l и произвольную точку F, не лежащую в плоскости этой линии (рис. 300, à). Всевозможные прямые, соединяющие точку F со всеми точками линии l, образуют так называемую коническую поверхность. При этом точка F называется вершиной, линия l — направляющей, а указанные прямые — образующими конической поверхности. Коническая поверхность имеет две полости: одна из них образована лучами, пересекающими l, а другая — их продолжениями. Конусом называется тело, ограниченное одной полостью конической поверхности с замкнутой направляющей

Ðèñ. 300

520

ГЕОМЕТРИЯ

§40. Тела вращения

èплоскостью, пересекающей эту коническую поверхность и не проходящей через вершину F (ðèñ. 300, á). Часть этой плоскости, лежащая внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание, называется высотой конуса (FH íà ðèñ. 300, á).

Пирамиду можно рассматривать как частный случай конуса (направляющей служит многоугольник).

Если в качестве направляющей взять окружность, то конус называется круговым; если, кроме того, высота конуса проходит через центр основания, то конус называется прямым круговым. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой круговой конус.

Рассмотрим сечения конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Если секущая плоскость параллельна основанию, то линия, получающаяся в сечении, — окружность (рис. 301, à); если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих и пересекает только одну полость, то в сечении получается линия, называемая эллипсом (ðèñ. 301, á; частным случаем эллипса является окружность); если секущая плоскость пересекает только одну полость и параллельна образующей, то линия, получа- ющаяся в сечении, — парабола (рис. 301, â); если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, то линия, получающаяся в сечении, — гипербола (рис. 301, ã). Эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым. Плоскость, проходящая че- рез образующую перпендикулярно осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется

касательной плоскостью конуса.

521

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

à) á)

â) ã)

Ðèñ. 301

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, ò. å.

Боковая поверхность конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую, ò. å.

522

ГЕОМЕТРИЯ

§40. Тела вращения

Ïр и м е р 1. Боковая поверхность конуса вдвое больше площади основания. Найти объем конуса,

если площадь его осевого сечения равна 3 3 ñì2.

q По условию, Sáîê = 2S, ò. å. pRl = 2pR2 (рис. 302), откуда l = 2R и, значит, D AFB — правильный.

V= 1 p ´· 3 · 3 = 3p (ñì3). n

3

Пирамидой, вписанной в конус, называется пирамида, основание которой — многоугольник, вписанный в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Боковые ребра вписанной пирамиды являются образующими конуса.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, основание которой — многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

П р и м е р 2. В конус вписана треугольная пирамида, боковые ребра которой попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между образующей конуса и его высотой.

q Òàê êàê FA = FB = FC (ðèñ. 303), òî D AFB = = D AFC = BFC (прямоугольные треугольники, име-

523

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ющие по два равных катета); значит, D ABC — правильный. Искомый угол j — ýòî óãîë AFO между высотой и ребром правильной пирамиды FABC.

Пусть ÀÂ = à. Тогда FA = a 2 , OA = a 3 , откуда

Если от конуса отсечь часть плоскостью, параллельной его основанию, то тело, заключенное между секущей плоскостью и основанием, называется усе- ченным конусом (рис. 304). При этом круги с центрами Î1 è Î, лежащие в параллельных плоскостях, называются верхним è нижним основаниями усе- ченного конуса, а расстояние между этими плоско-

524

ГЕОМЕТРИЯ

§ 40. Тела вращения

стями называется высотой усеченного конуса (Î1Î íà ðèñ. 304).

Объем усеченного конуса равен одной трети произведения высоты на сумму площадей верхнего и нижнего оснований и средней пропорциональной между ними:

Боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:

П р и м е р 3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 4 см. Найти объем и боковую поверхность усеченного конуса, если последняя равна сумме площадей оснований.

525

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

q Проведем B1B^OA и положим B1B = h,

B1A = l, ÐB1AB = a (ðèñ. 305). Â D B1BA имеем: ÂÀ =

314. Шар, сфера. Шаровой поверхностью (èëè

сферой) называется геометрическое место точек, удаленных от заданной точки Î (центра) на заданное расстояние R (радиус). Øàð — геометрическое место точек, удаленных от центра на расстояние, не превышающее радиус (рис. 306).

Любой отрезок, соединяющий произвольную точ- ку сферы с центром, называется ее радиусом. Отрезок, соединяющий какие-либо две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром. Центр, радиус и диаметр сферы является также центром, радиусом и диаметром шара.

Плоскость, имеющая с шаром одну общую точку, называется касательной плоскостью øàðà.

Ò.11.4. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Ò.11.5. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

526