Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§39. Многогранники

Ïр и м е р 4. Найти сумму квадратов синусов углов, которые диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами.

q Пусть à, b, c — измерения параллелепипеда, а a, b, g — углы, которые диагональ d образует с его

ребрами. Тогда a = d cos a, b = d cosb, c = d cos g (ðèñ. 289). Íî a2 + b2 + c2 = d2, откуда d2(cos2 a + + cos2 b + cos2 g) = d2, èëè cos2 a + cos2 b + cos2 g = = 1. Òàê êàê cos2 a = 1 - sin2 a, cos2 b = 1 - sin2 b, cos2 g = 1 - sin2 g, òî 3 - sin2 a - sin2 b - sin2 g = 1, ò. å. sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2. n

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого — квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны.

Объем куба равен кубу его ребра, ò. å.

П р и м е р 5. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно d.

q Расстояние от ребра ÀÀ1 до диагонали B1D равно расстоянию от этого ребра до плоскости ÂÂ1D1D, т. е. длине отрезка À1Å (рис. 290). Пусть à — ребро

куба; тогда из D A1ED1 следует, что 2d2 = a2, откуда a = d 2. Èòàê, V = a3 = 2d3 2. n

507

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

311. Пирамида, усеченная пирамида. Рассмотрим произвольный плоский многоугольник ABCDE è òî÷- êó F, лежащую вне его плоскости. Соединим точку F со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой (рис. 291). Одна грань пирамиды (многоугольник ABCDE) называется ее основанием, а остальные (треугольники FAB, FBC и т.д. с общей вершиной) — боковыми гранями. Точка F называется вершиной пирамиды, а отрезки FA, FB è ò. ä. — боковыми ребрами. В зависимости от числа сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, различают треугольные, четырехугольные и вообще n-угольные пирамиды.

Заметим, что n-угольная пирамида имеет n + 1 грань: n боковых граней и основание. При вершине пирамиды образуется n-гранный угол с n плоскими и n двугранными углами. Они называются соответственно плоскими углами при вершине è двугран-

508

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

ными углами при боковых ребрах. При каждой вершине основания имеется трехгранный угол. Его плоские углы, называемые плоскими углами при основании, образованы боковым ребром и ребрами основания. Двугранные углы между боковыми гранями и основанием называются двугранными углами при основании.

Треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром. Любую ее грань можно принять за основание.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины на основание (на рис. 291 отрезок FH — высота пирамиды).

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника. Заметим, что правильная пирамида, кроме правильного тетраэдра, не является правильным многогранником.

Отметим, что в правильной пирамиде:

10. Все боковые ребра равны между собой.

20. Все боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники.

30. Все плоские углы при вершине равны.

40. Все двугранные углы при вершине равны.

50. Все плоские углы при основании равны.

60. Все двугранные углы при основании равны. Высота боковой грани правильной пирамиды на-

зывается апофемой пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S на высоту h:

509

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Объем пирамиды, построенной на векторах a, b

è c, равен одной шестой абсолютной величины смешанного произведения этих векторов (ñì. ï. 302).

Боковая поверхность правильной пирамиды равна половине произведения периметра ее основания на апофему m:

Если все боковые грани пирамиды или призмы образуют со сторонами основания равные двугран-

íûå óãëû j, то боковая поверхность Sáîê и площадь основания S связаны соотношением

При решении задач, связанных с пирамидой, часто используют следующие утверждения:

10. Пусть в пирамиде выполняется одно из условий: а) либо все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; б) либо длины всех боковых ребер равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).

20. Пусть в пирамиде выполняется одно из условий: а) либо все боковые грани образуют с основанием равные углы; б) либо длины всех апофем пирамиды равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).

П р и м е р 1. Основанием четырехугольной пирамиды служит прямоугольник, диагональ кото-

510

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

рого равна 2 3, а угол между диагоналями равен 60°. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем и боковую поверхность пирамиды.

q По условию, BD = 2 3, ÐAOB = 60° (ðèñ. 292);

тогда РBDA = 30°, AB = 3, AD = 3. Значит, S =

= AB × AD = 3 3. Так как боковые ребра образуют с

плоскостью основания равные углы то, согласно утверждению 10, FO — высота пирамиды и

= FO2 + OM2 = 3 + 2,25 = 0,5 21. Èòàê,

Sáîê = (3 + 3) 21. n

П р и м е р 2. Найти объем и боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если высота треугольника, являющегося ее основанием, равна 30, а апофема пирамиды равна 20.

q Пусть à — сторона правильного треугольника ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ — его высота, FO — высота пира-

ìèäû, FM — апофема. Имеем CM = a 3 , îòêó-

511

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

OM = 1 CM = 10 è èç D FOM получим FO = 3

= 202 - 102 = 10 3. Теперь по формулам (1) и

(2) находим

Sáîê = 0,5Pm = 0,5 × 60 3 × 20 = 600 3.

Для отыскания Sáîê можно было также использовать формулу (3). В самом деле, все двугранные углы

при основании равны j , ãäå cos j = OM : FM = 0,5.

Учитывая, что S = 300 3, получим

Sáîê = 300 3 : 0,5 = 600 3. n

512

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

Если в произвольной пирамиде провести плоскость, параллельную основанию, то многогранник, гранями которого являются это сечение, основание и заключенные между ними части боковых граней пирамиды, называется усеченной пирамидой (рис. 294). Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее верхним и нижним основаниями, а расстояние между ними — высотой.

Заметим, что пирамида FA1B1C1D1, лежащая выше секущей плоскости (рис. 294), подобна пирамиде FABCD. Поэтому площади оснований S1 è S2

указанных пирамид относятся как квадраты их ли-

нейных размеров, а объемы V1 è V2 этих пирамид — как кубы линейных размеров (например, если

Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобочные трапеции. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой пирамиды.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты на сумму площадей верхнего и нижнего оснований и средней пропорциональной между ними:

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:

513

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

П р и м е р 3. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 см, стороны одного основания равны 27, 29 и 52 см, а периметр другого основания равен 72 см. Найти объем усеченной пирамиды.

q Согласно формуле (4), искомый объем

514

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

П р и м е р 4. Найти объем и боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее диагональ равна 18, а стороны оснований равны 14 и 10.

= B1D2 - KD2 . Учитывая, что BB1D1D — равно-

Ðèñ. 296

515

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

бочная трапеция, находим BK = 0,5 (BD - B1D1) = = 0,5 (14 2 - 10 2) = 2 2, откуда KD = BD - BK =

= 12 2, ò. å. h = 182 - (12 2)2 = 6. Значит,

V= 6 (196 + 100 + 140) = 872. 3

Теперь проведем апофему D1E è â D D1ED имеем

§40. Тела вращения

312.Цилиндр. Рассмотрим какую-либо плоскую линию l. Через каждую точку этой линии проведем параллельные прямые, не лежащие в плоскости линии l (рис. 297). Полученная при этом поверхность называется цилиндрической. Линия l называется направляющей цилиндрической поверхности, а параллельные прямые — ее образующими.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью

ñзамкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее образующие, называется цилиндром. Части параллельных плоскостей, лежащие внутри цилиндра, называются основаниями, а расстояние между этими плоскостями — высотой цилиндра. Основания цилиндра равны, также равны и

516