Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 38. Двугранные и многогранные углы

Ðèñ. 278

вершиной (рис. 278), причем каждый из плоских углов меньше развернутого. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой из своих граней.

Сумма двугранных углов n-гранного угла заклю- чена между 180° (n – 2) è 180°n.

497

Раздел XI

МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

§39. Многогранники

308.Общие понятия. Рассмотрим тело, ограни- ченное замкнутой поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Каждый многоугольник называется гранью, à ñàìî òåëî — многогранником. При этом любая сторона каждого многоугольника является также стороной еще одного и только одного многоугольника,а любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо не имеют общих точек. Стороны граней многогранника называются его ребрами, а вершины этих граней — вершинами многогранника (рис. 279). Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из своих граней. Все многогранники, изображенные на рис. 279, — выпуклые. В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые многогранники.

Ðèñ. 279

498

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

Пусть Г — число граней, В — число вершин, а Р — число ребер многогранника.

Ò.11.1. Для любого многогранника выполняется соотношение Â + Ã – Ð = 2, ò. å. число вершин плюс число граней минус число ребер равно 2 (теорема Эйлера).

Ò.11.2. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой из вершин меньше 360°.

309. Правильные многогранники. Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы при вершине равны между собой.

Гранями правильных многогранников могут быть только правильные треугольники, квадраты и правильные пятиугольники. Из этих элементов можно построить пять правильных многогранников. Все правильные многогранники данного типа подобны. Рассмотрим типы правильных многогранников.

1. Правильный тетраэдр (рис. 280). Это четырехгранник, каждая грань которого — правильный треугольник, а в каждой вершине сходятся три грани.

499

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

2.Правильный шестигранник — êóá (рис. 281). Каждая грань куба — это квадрат, а в каждой вершине сходятся три грани.

3.Правильный восьмигранник — октаэдр

(рис. 282). Его грани — правильные треугольники,

àв каждой вершине сходятся четыре грани.

4.Правильный двенадцатигранник — додекаэдр (рис. 283). Его грани — правильные пятиугольники, а в каждой вершине сходятся три грани.

5.Правильный двадцатигранник — икосаэдр

(рис 284). Его грани — правильные треугольники, а в каждой вершине сходятся пять граней.

П р и м е р 1. Найти угол наклона ребра FA

правильного тетраэдра FABC (рис. 285) к плоскости ÀÂÑ.

q Пусть ребро тетраэдра равно à. Проведем перпендикуляр FO к плоскости ÀÂÑ; тогда угол OAF — искомый. Так как точка Î — центр D ABC

500

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

= arccos 3 . n 3

П р и м е р 2. Найти двугранные углы при ребрах октаэдра.

q Проведем сечение, перпендикулярное ребрам ÂÑ è DE (рис. 286), проходящее через вершины À è F; óãîë j = ÐAMF — искомый (см. п. 306). Пусть

à — ребро октаэдра; тогда MO = a , AM = a 3 (âû-

2 2

сота правильного треугольника), РAMN = j . Значит,

2

501

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

310. Призма, параллелепипед, куб. Многогранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы, называется призмой (рис. 287). В зависимости от числа сторон основания призма называется треугольной, четырехугольной и

т. д. Многоугольники ABCDE è A1B1C1D1E1 называются основаниями призмы, параллелограммы

ÀÀ1Â1Â, ÂÂ1Ñ1Ñ è ò. ä. — боковыми гранями, à îò-

резки ÀÀ1, ÂÂ1 è ò. ä. — боковыми ребрами. Высотой призмы называется расстояние между ее основниями. Отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Диагональным сечением призмы называется се- чение, проходящее через два боковых ребра, не при-

надлежащие одной грани (на рис. 287 — это параллелограмм AA1D1D ).

Перпендикулярным сечением призмы называется сечение, перпендикулярное ее боковому ребру (на рис. 287 — это многоугольник A¢B¢C¢D¢E¢ ).

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой; в противном случае — наклонной (в прямой призме перпендикулярное сечение параллельно основанию или совпадает с ним).

502

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной (за исключением куба правильная призма не является правильным многогранником).

Боковая поверхность призмы — это сумма площадей всех ее боковых граней; полная поверхность призмы — это сумма боковой поверхности и площадей ее оснований.

Объем призмы равен произведению площади ее основания S на высоту h или произведению площади ее перпендикулярного сечения Sñå÷ на боковое ребро l:

503

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения Рñå÷ на боковое ребро l:

В частности, боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания Р на высоту призмы h:

П р и м е р 1. В наклонной треугольной призме расстояния боковых ребер друг от друга равны 13, 14 и 15 см, боковое ребро равно 5 см. Найти боковую поверхность и объем призмы.

q Боковую поверхность призмы найдем по фор-

ìóëå (3): Sáîê = Ðñå÷l, ãäå Ðñå÷=13 + 14 + 15 = 42 (ñì), l = 5 см. Значит, Sáîê = 210 ñì2. Чтобы найти объем, воспользуемся формулой (2): V = Sñå÷l, где, согласно

формуле Герона, имеем Sñå÷ = 21× 8 × 7 × 6 = 84 (ñì2). Èòàê, V = 420 (ñì3). n

П р и м е р 2. Основание прямой призмы — правильный треугольник, у которого радиус описан-

ной окружности равен 2 3. Найти боковую поверхность и объем призмы, если ее высота равна 4.

q Найдем сторону основания: a = R 3 (ñì. ï. 293),

ò. å. a = 2 3 × 3 = 6. Поэтому Ð = 18, откуда, соглас-

но формуле (4), Sáîê = 6 · 4 = 24 (ñì2). Далее, в силу формулы (1) имеем

V = Sh = 36 × 3 × 4 = 36 3 (ñì3). n 4

504

ГЕОМЕТРИЯ

§ 39. Многогранники

Призма, основанием которой служит параллелограмм, называется параллелепипедом. Таким образом, параллелепипед — это шестигранник, все грани которого являются параллелограммами. Любую из граней можно принять за основание. Параллелепипед имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед называется прямым. Все боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Так как параллелепипед — это частный случай призмы, то для вычисления его объема и боковой поверхности справедливы те же формулы (1) — (4), что и для призмы. Отметим еще, что объем паралле-

лепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен абсолютной величине смешанного произведения этих векторов (см. п. 302).

П р и м е р 3. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого равна 50 см2. Площади диагональных сечений равны 30 и 40 см2. Найти объем и боковую поверхность параллелепипеда.

q Имеем V = 50h, ãäå h нужно найти. Так как

ABCD — ðîìá (ðèñ. 288), òî 50 = 0,5 × AC × BD. Теперь, учитывая, что AC × h = 30, BD × h = 40, íàõî-

äèì AC = 30 , BD = 40 . Отсюда получаем 100 =

hh

= 30 × 40 , ò. å. h = 12 = 2 3 (см). Значит, V =

hh

=100 3 (ñì3). Далее, из D COD следует, что CD2 =

505

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел XI. МНОГОГР. И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Прямой параллелепипед, основание которого — прямоугольник, называется прямоугольным. Таким образом, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней являются прямоугольниками. Длины трех взаимно перпендикулярных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями.

Ò.11.3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат

диагонали d равен сумме квадратов трех его измерений а, b è ñ, ò .å. d2 = a2 + b2 + c2.

506