Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 37. Взаимн. располож. прямых и плоскостей

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (угол j на рис. 262). Если прямая параллель-

на плоскости, то угол между ними считается равным нулю; если прямая перпендикулярна плоскости, то он равен 90°.

П р и м е р 2. Под каким углом пересекает плоскость данная прямая, если проекция любой ее наклонной равна длине перпендикуляра, проведенного из той же точки, что и наклонная?

q В прямоугольном треугольнике ÌÌ0À (см. рис. 259) имеем ÀÌ0 = ÌÌ0, т .е. треугольник равнобед-

Отметим, что из всех углов, которые образованы данной прямой, пересекающей плоскость, и всевозможными прямыми, лежащими в плоскости, угол между данной прямой и ее проекцией является наименьшим. Так, для углов, изображенных на рис. 263,

имеем ÐMAM0 < ÐMAB.

П р и м е р 3. Из точки Ì к данной плоскости проведены перпендикуляр ÌÌ0 и две наклонные ÌÀ è ÌÂ (рис. 264). Проекции наклонных перпендикулярны друг другу, а длина каждой из проекций равна ÌÌ0. Найти угол ÌÀÂ.

qПо условию, M0 A = M0B = MM0 è M0 A^M0B,

MM0^M0 A, MM0^M0B; значит, D MM0 A =

= D MM0B = D AM0B (по двум катетам). Отсюда следует, что D AMB — правильный, т. е. ÐMAB = = 60° (заметим, что ÐMAB > ÐMAM0 = 45°). n

487

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

305. Взаимное расположение двух плоскостей. Свойства параллельных прямых и плоскостей. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Таким образом, две плоскости либо пересекаются (в этом случае они имеют общую прямую; рис. 265, à), либо параллельны (в этом случае они не имеют общих точек; рис. 265, á).

Ò.10.10. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны (признак параллельности двух плоскостей).

П р и м е р. Доказать, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

q Пусть à è b — данные скрещивающиеся прямые (рис. 266). Через произвольную точку прямой à

проведем прямую b¢ b, а через произвольную точку прямой b — прямую a¢ a. Далее проведем две плос-

488

ГЕОМЕТРИЯ

§ 37. Взаимн. располож. прямых и плоскостей

Ðèñ. 265

Ðèñ. 266

кости: одну через прямые à è b¢, другую — через b

è a¢. Согласно теореме 10.10, эти плоскости параллельны, причем прямая à лежит в одной из них, а прямая b — в другой. n

489

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Отметим следующие свойства параллельных плоскостей:

10. Через любую точку, лежащую вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

20. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

30. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны между собой (рис. 267).

40. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис. 268).

50. Плоскости, перпендикулярные параллельным прямым, параллельны (рис. 269).

490

ГЕОМЕТРИЯ

§ 37. Взаимн. располож. прямых и плоскостей

Отметим также свойства параллельных прямых: 10. Прямая, параллельная двум пересекающимся плоскостям, параллельна линии их пересечения

(ðèñ. 270).

20. Если две плоскости пересекаются по прямой à, то в каждой из них параллельными друг другу являются прямые, параллельные прямой à, и только они (рис. 271).

30. Перпендикуляры, проведенные к параллельным прямым, параллельны.

40. Проекции параллельных прямых на параллельные плоскости параллельны (рис. 272).

50. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны (рис. 273).

491

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§ 38. Двугранные и многогранные углы

306. Двугранный угол. Две пересекающиеся плоскости разбивают пространство на четыре части, каждая из которых называется двугранным углом. Таким образом, двугранный угол образован двумя по-

492

ГЕОМЕТРИЯ

§ 38. Двугранные и многогранные углы

луплоскостями, называемыми гранями; линия их пересечения называется ребром двугранного угла. Проведем плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла. Угол, полученный в сечении (рис. 274), называется плоским (линейным) углом двугранного угла. Этот плоский угол принимается за меру двугранного угла.

Две плоскости, образующие прямой двугранный угол, называются взаимно перпендикулярными.

Ò.10.11. Две плоскости взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости (признак перпендикулярности двух плоскостей).

Справедливо следующее утверждение:

Ò.10.12. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Например, в кубе все вертикальные грани перпендикулярны нижней грани и все вертикальные ребра (линии пересечения вертикальных граней) также перпендикулярны нижней грани.

П р и м е р. В кубе проведено сечение ABCDEF (рис. 275), где точки A, B, C, D, E, F — середины соответствующих ребер. Найти двугранный угол между этим сечением и нижней гранью.

q Построим РDFK = a — плоский угол искомого двугранного угла. Здесь AF — ребро двугранного

óãëà; DF^AF, так как сечение — правильный шестиугольник, а угол DFA опирается на диа-

ìåòð; KF^AF, поскольку эти отрезки соединяют середины сторон квадрата. Пусть à — ребро куба.

Тогда DK = a, FK = 0,5 2a, откуда tg a = 2 è

493

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

307. Трехгранный угол. Фигура, образованная тремя лучами, выходящими из одной точки и не лежащими в одной плоскости, и тремя частями плоскостей, заключенных между этими лучами, называется трехгранным углом (рис. 276). Точка À называется вершиной óãëà, ëó÷è — åãî ребрами, а ча- сти плоскостей — гранями. Грани трехгранного угла называются его плоскими углами. Углы между плоскими гранями называются двугранными углами данного трехгранного угла.

Ò.10.13. В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других углов.

П р и м е р. Плоские углы a, b, g трехгранного угла равны соответственно 45°, 30° и 60°. Найти его двугранные углы (рис. 277).

494

ГЕОМЕТРИЯ

§ 38. Двугранные и многогранные углы

Ðèñ. 277

q Отложим на ребре трехгранного угла отрезок ÎÀ = 1 и проведем сечение ÀÂÑ, перпендикулярное этому ребру. Пусть РAOB = 45°,ÐAOC = 30°,ÐBOC = = 60°. Искомый угол ÑÀÂ обозначим через j (так же обозначим и соответствующий двугранный угол; двугранные углы ÎÂ è ÎÑ обозначим соответственно через f и q). Имеем AB = tg45° = 1, AC =

С другой стороны, из D ABC :

BC2 = AB2 + AC2 - 2AB × AC × cosj =

495

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

= arccos0,633 » 50,1°. n

Между плоскими и двугранными углами трехгранного угла существуют следующие соотношения (сохраним обозначения, указанные в примере):

Ò.10.14. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Последнее утверждение справедливо для произвольного выпуклого многогранного угла.

Многогранным углом называется фигура, ограниченная несколькими плоскими углами с общей

496