Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

AD (рис. 249). Находим AB = {1;3;2}, ACÀÑ ==

= {1;2;1}, AD = {-1;1;1}. Согласно формуле (1), имеем

= 1 - 3 × 2 + 2 × 3 = 1.

Èòàê, VDABC = 1 (êóá. åä). n

6

Ïр и м е р 2. Прямая m проходит через точку

Ì(2; 1; 3) параллельно вектору a = {1; - 1;2}; ïðÿ-

ìàÿ n проходит через точку N (3;4;2) параллельно

вектору b = {2;1;2}. Установить, пересекаются ли эти прямые или скрещиваются (см. п. 303).

q Если эти прямые пересекаются, то векторы a,b

è MN компланарны, т. е. a × b × MN = 0. Имеем

следовательно, данные прямые скрещиваются. n

П р и м е р 3. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными в примере 2.

477

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

q Искомое расстояние — это высота параллелепипеда, построенного на векторах a,b, MN (ðèñ. 250).

Òàê êàê V = Sh, òî h = V , ãäå V = 1 (абсолютная

S

величина смешанного произведения, найденного в примере 2), а S = a ´ b . Имеем

478

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

Ðèñ. 251

откуда S = a ´ b = 16 + 4 + 9 = 29.

Èòàê, h = 1 . n

29

П р и м е р 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки À (1; 2; 3), Â (3; 2; 1) è Ñ (5; –2; –3).

q Возьмем на искомой плоскости произвольную

точку M (x;y;z) (рис. 251). Тогда векторы AM, AB,

èëè

-8 (x - 1) + 4 (y - 2) -8 (z - 3),

ò. å.

2x - y + 2z - 6 = 0. n

479

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§ 37. Взаимное расположение прямых и плоскостей

303. Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Итак, возможны три слу- чая взаимного расположения двух прямых в пространстве: 1) они пересекаются; 2) они параллельны; 3) они скрещиваются. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости, в третьем — в разных плоскостях.

Например, в кубе ABCDA1B1C1D1 (рис. 252) ребра ÀÂ è À1Â1 èëè AD è A1D1 и т. д. параллельны; ребра ÀÀ1 è À1Â1 èëè ÂÑ è CD и т. д. пересекают-

ся; ребра ÀÀ1 è CD èëè ÀÀ1 è Â1Ñ1 и т. д. скрещиваются.

Отметим, что в пространстве, как и на плоскости, справедливы следующие утверждения:

две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (при этом все три прямые могут и не лежать в одной плоскости; например, через парал-

лельные прямые ÀÂ, CD è À1Â1, изображенные на рис. 252, нельзя провести плоскость);

углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными данным и проходящими через произвольную точ- ку Ì.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки

480

ГЕОМЕТРИЯ

§ 37. Взаимн. располож. прямых и плоскостей

Ìна прямую, называется прямая, образующая с данной угол 90° и пересекающая ее (перпендикуляром называется также длина отрезка MN от точки Ì до точки N пересечения прямых; рис. 253). Если точка

Ìлежит вне прямой, то такой перпендикуляр единственный. Если же точка Ì лежит на прямой, то можно провести бесконечно много прямых, проходящих через Ì и перпендикулярных данной прямой.

Существует только один перпендикуляр, общий для двух скрещивающихся прямых. Его длина называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Для построения этого перпендикуляра проведем через одну из скрещивающихся прямых плоскость, параллельную другой прямой (на рис. 254 плоскость Ð проведена через прямую m и параллельна прямой n ), затем через вторую пря-

ìóþ ( n ) проведем плоскость, перпендикулярную первой плоскости ( P^Q ). Пусть плоскость Q пересекает прямую m в точке À. Тогда перпендикуляр к прямой m в точке À и есть искомый.

481

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Например, в кубе (см. рис. 252) общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым ÀÀ1 è CD является ребро AD.

П р и м е р. Два равнобедренных прямоугольных треугольника ÀÂÑ è ADC расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеют общую гипотенузу (рис. 255). Найти кратчайшее расстояние между прямыми ÀÑ è BD, если каждый катет равен 4.

q Проведем высоты ÂÍ è DH. Тогда получим D BHD — равнобедренный и прямоугольный. Проведем в нем высоту HF. Òàê êàê AC^BH è AC^DH, òî ÀÑ — перпендикуляр к плоскости BHD (см. теорему 10.7 в п. 304). Отсюда AC^HF. Значит, HF^AC è HF^BD, ò. å. HF и есть искомое расстояние. Име-

åì BH = 0,5 2BC = 2 2, HF = 0,5 2BH = 2. n

482

ГЕОМЕТРИЯ

§ 37. Взаимн. располож. прямых и плоскостей

Ðèñ. 256

304. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. Таким образом, возможны три слу- чая расположения прямой относительно плоскости: 1) она лежит в плоскости; 2) она пересекает плоскость; 3) она параллельна плоскости (рис. 256, à, á).

Справедливы следующие утверждения:

Ò.10.5. Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда она не лежит в этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (признак параллельности прямой и плоскости).

Так, если прямая b параллельна прямой à, лежащей в плоскости l (рис. 257), то она параллельна этой плоскости.

Ò.10.6. Если прямая параллельна плоскости l и через эту прямую проведена плоскость, пересека-

þùàÿ l, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой (ðèñ. 258).

483

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Определим понятие перпендикуляра к плоскости. Прямая называется перпендикуляром к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикуляром к плоскости называется также отрезок этой прямой от какой-либо точки Ì до точки Ì0 пересечения прямой и плоскости (рис. 259). Точка Ì0 называется основанием перпендикуляра.

Ò.10.7. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости (признак перпендикулярности прямой и плоскости).

Пусть из точки Ì проведен перпендикуляр к плоскости (рис. 259). Длина отрезка ÌÌ0 называется расстоянием от точки Ì до плоскости. Соединив точ- ку Ì с какой-либо точкой плоскости, отличной от основания перпендикуляра Ì0, получим наклонную ÌÀ. Любая наклонная длиннее перпендикуляра, проведенного из той же точки. Отрезок Ì0À называется

проекцией наклонной.

484

ГЕОМЕТРИЯ

§ 37. Взаимн. располож. прямых и плоскостей

Отметим, что из двух наклонных больше та, у которой проекция больше; равные наклонные имеют равные проекции.

Ò.10.8. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной (теорема о трех перпендикулярах).

Верно и обратное:

Ò.10.9. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно этой наклонной, перпендикулярна и ее проекции.

Пусть, например, ÌÌ0 — перпендикуляр к плоскости, ÌÅ — наклонная (рис. 260). Тогда, если прямая DE перпендикулярна Ì0Å (проекции наклонной ÌÅ), то она перпендикулярна и самой наклонной ÌÅ. Если же известно, что прямая DE перпендикулярна наклонной ÌÅ, то она перпендикулярна и ее проекции Ì0Å.

485

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

П р и м е р 1. В прямоугольном треугольнике ÀÂÑ известны катеты ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Из вершины прямого угла Ñ к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр ÑÌ = 2 (рис. 261). Найти расстояние от точки Ì до гипотенузы.

q Проведем MD^AB. Òàê êàê ÌÑ — перпендикуляр к плоскости, MD — наклонная, CD — ее проекция, то CD^AB (по теореме 10.9). Из D ABC íàõî-

äèì AB = 62 + 82 = 10. Чтобы найти высоту CD, воспользуемся двумя формулами для отыскания пло-

486