Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

Ðèñ. 241

Тогда любой вектор a можно представить в виде a = xi + yj + zk, причем числа x, y, z являются его координатами. Например, вектор a = {2; 5; - 1} можно записать как a = 2i + 5j - k, а запись b = 3i - 2j +

+5k означает, что b = {3; - 2; 5}.

300.Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение определяется для двух векторов.

Пусть a = {X1; Y1; Z1} è b = {X2; Y2; Z2}. Тогда ñêà-

лярным произведением векторов a è b называется число X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. Скалярное произведе-

ние обозначается так: a b èëè ( a, b ). Например, если a = {2; 1; - 1} è b = {1; 3; 2}, òî

a b = 2 + 3 - 2 = 3.

467

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

текает формула для нахождения косинуса угла между векторами:

a = {2; 0; 2} è b = {1; 1; 0}.

q Используя формулу (2), получаем

Отметим свойства скалярного произведения векторов ( a, b, c — любые векторы, l — любое число):

10. a a ³ 0, причем a2 > 0, åñëè a ¹ 0.

468

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

20. a b = b a (переместительный закон).

30. (a + b) c = a c + b c (распределительный закон).

40. (l a) b = l (a b) (сочетательный закон). Свойства скалярного произведения позволяют

производить со скалярными произведением те же преобразования, что и с многочленами в алгебре.

Åñëè a b = 0, òî a^ b и обратно, если a^ b, òî

a b = 0. Таким образом, необходимым и достаточ- ным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного

Нулевой вектор считается ортогональным любому вектору.

П р и м е р 3. Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

q Пусть Î — точка пересечения двух высот в D ABC (ðèñ. 242): OA^BC è OB^AC. Покажем, что

OC^AB. Рассмотрим векторы AB, BC, CA, OA, OB

OC × AB = (OB + BC) (BC + CA) = OB × BC + BC × BC +

+ OB × CA + BC × CA = OB × BC + BC × BC + BC × CA,

469

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 242

òàê êàê OB × AC = 0 в силу перпендикулярности векторов. Далее имеем OC × AB = BC (OB + BC + CA). Íî

OB + BC + CA = OA (рис. 242). Значит, OC × AB =

= BC × OA = 0, поскольку BC ^OA. Отсюда следует, что и OC^ AB. n

П р и м е р 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку À (4; –1; 2) перпендикулярно вектору n = {3; 2; 1}.

q Возьмем на искомой плоскости произвольную точку M (x; y; z) (рис. 243). Тогда AM ^n è

n × AM = 0. Отсюда получим

3 (x - 4) + 2(y + 1) + 1× (z - 2) = 0,

èëè

3x + 2y + z - 12 = 0. n

П р и м е р 5. Даны ненулевые векторы a è b. Найти все векторы c, удовлетворяющие условию

a b = a c (заметим, что для чисел a, b, c , отличных

470

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

îò íóëÿ, èç ab = ac следует b = c ).

вектор a. Значит, в качестве вектора c можно взять любой вектор, имеющий ту же проекцию на вектор a, что и вектор b. n

301. Векторное произведение векторов. Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор c, что его длина равна произве-

471

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

дению длин векторов a è b на синус угла между ними, т. е. c = a b sinj, а направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы a

è b , причем поворот от вектора a к вектору b íà

наименьший угол виден из конца вектора c происходящим против часовой стрелки (рис. 245).

Векторное произведение a íà b обозначается так: a ´ b èëè [a,b].

Òàê êàê a b sinj — это площадь параллелог-

рамма, построенного на векторах a è b , то длина

вектора c численно равна площади этого параллелограмма.

Найдем, например, c = i ´ j (рис. 246). Так как параллелограмм, построенный на перемножаемых

векторах, — это квадрат со стороной 1, то c = 1.

472

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

Вектор c направлен перпендикулярно плоскости õÎó, в которой лежат векторы i è j, как указано

на рис. 246. Значит, c — это единичный вектор, направление которого совпадает с направлением

îñè Oz, т. е. вектор k. Èòàê, i ´ j = k. Аналогично

получим j ´ k = i, k ´ i = j.

Заметим, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору (так,

i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0 ).

Пусть a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2; Y2; Z2}. Тогда

векторное произведение a ´ b можно найти по формуле

П р и м е р 1. Найти площадь треугольника с вершинами M(-3;-2;-4), N(-1;-4;-7) è P (1;- 2;2).

q Площадь треугольника MNP равна половине площади параллелограмма MNQP (ðèñ. 247), ïîñò-

роенного на векторах MN = a = {2; - 2; - 3} è MP =

= b = {4;0;6}. Согласно формуле (1), имеем

i j k

a ´ b = 2 - 2 3 = -12i - 24j + 8k,

4 0 6

473

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

откуда SDMNP = 0,5 a ´ b = 0,5 144 + 576 + 64 = = 0,5 × 28 = 14 (êâ.åä). n

Отметим свойства векторного произведения ( a, b, c — любые векторы, l — любое число):

10. a ´ b = -b ´ a, т. е. при перемене мест сомножителей векторное произведение меняет знак. Таким образом, векторное произведение не подчиняется переместительному закону.

20. (a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c (распределительный закон).

30. (l a) ´ b = l (a ´ b) (сочетательный закон). П р и м е р 2. Площадь параллелограмма, пост-

роенного на векторах a è b, равна 10 кв. ед. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

474

ГЕОМЕТРИЯ

§ 36. Операции над векторами

q Искомая площадь равна модулю векторного произведения (a + b) ´ (a - b) (ñì. ðèñ. 238, á). Èìå-

åì (a + b ) ´ (a - b ) = a ´ a + b ´ a - a ´ b - b ´ b. Íî

a ´ a = b ´ b = 0, b ´ a = -a ´ b, откуда (a + b) ´ (a -

Найти все векторы c , удовлетворяющие условию a ´ b = a ´ c.

q Имеем a ´ b = a b sinj1, a ´ c = a c sin j2 (рис. 248), т. е. площадь параллелограмма, построен-

ного на векторах a è b, должна быть равна площа-

ди параллелограмма, построенного на векторах a è c. Так как эти параллелограммы имеют общее основание a, то у них должны быть равные высоты. Итак, в качестве вектора c можно взять любой вектор, на-

чало которого совпадает с началом вектора a, а конец лежит на прямой, проходящей через конец век-

òîðà b параллельно вектору a . n

302. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением векторов a, b è c, которое обозначается a b c èëè ( a, b, c ), называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение b ´ c или скалярному произве-

475

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел X. ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

дению векторного произведения a ´ b на вектор c,

ò. å. a b c = a (b ´ c) = (a ´ b ) c.

Пусть a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2; Y2; Z2}, c = {X3;

Y3; Z3}. Тогда справедлива формула

Отметим свойства смешанного произведения ( a, b, c, d — любые векторы, l — любое число):

10. abc = bc a = c ab = -(bac) = -(cba) = -(a cb),

т. е. смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей и меняет знак при перестановке двух сомножителей.

20. (a + b) c d = a c d + b c d (распределительный закон).

30. (l a) b c = l (a b c) (сочетательный закон относительно скалярного множителя).

Абсолютная величина смешанного произведения

векторов a, b è c равна объему параллелепипеда,

построенного на векторах-сомножителях.

П р и м е р 1. Найти объем пирамиды с вершинами в точках À (1; 1; 1), Â (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2),

D (0; 2; 2).

q Очевидно, что искомый объем равен 16 объема

параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC,

476